二次函数与平行四边形.doc

二次函数与平行四边形
1. 已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

2. 如图，在坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

3. 如图，抛物线与轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）

4. 如图，抛物线经过A,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.

5. 综合与探究：如图,抛物线与轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是轴上的一个动点,设点P的坐标为（，0），过点P作轴的垂线交抛物线于点Q
（1）求点A,B,C的坐标。
（2）当点P在线段OB上运动时，直线分别交BD，BC于点M,N。试探究为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

6. 如图，抛物线与轴交于A（1，0）、B（﹣4，0）两点，交轴与C点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线位于第二象限的部分上是否存在点D，使得△DBC的面积S最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的顶点为点F，连接线段CF，连接直线BC，请问能否在直线BC上找到一个点M，在抛物线上找到一个点N，使得C、F、M、N四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请写出点M和点N的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 将抛物线向右平移2个单位，得到如图抛物线的图象，P是抛物线对称轴上的一个动点，直线平行于轴，分别与直线、抛物线交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的值，则=　　　　　　．