专题：基本不等式常见题型归纳(学生版).doc

专题：基本不等式
基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．
三个不等式关系：
（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．
（2）a，b∈R＋，a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号．
（3）a，b∈R，≤()2，当且仅当a＝b时取等号．
上述三个不等关系揭示了a2＋b2 ，ab ，a＋b三者间的不等关系．
其中，基本不等式及其变形：a，b∈R＋，a＋b≥2(或ab≤()2)，当且仅当a＝b时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．
【题型一】利用拼凑法构造不等关系
【典例1】已知且，则的最小值为 .
练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ．
2.若实数满足，则的最小值为 ．
3.已知，且，则的最小值为 .
【典例2】已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ．
【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.
变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.

2.设，，则的最小值为_______

3.设，，则的最大值为_________

4.已知正数，满足，则的最小值为
【题型二】含条件的最值求法
【典例4】已知正数满足，则的最小值为

练习1．已知正数满足，则的最小值为 .

2.已知正数满足，则的最小值为 ．

3．已知函数的图像经过点，如下图所示，则的最小值为 .

4．己知a，b为正数，且直线 与直线 互相平行，则2a+3b的最小值为________．

5.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，＋＝.若x＋2y的最小值为64，则ab＝________.

6.已知正实数满足，则的最大值为 ．

【题型三】代入消元法
【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的最小值为 ．

练习1．设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是 ．

2．已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为 ．

3．已知正实数满足，则的最小值为 ．

4.若，且，则使得取得最小值的实数= 。

5.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是_________

6.已知，且，，求的最大值为______

【题型四】换元法
【典例6】已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)＞0的解集记为P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠Æ，则－的最大值是 ．

2．已知正数a，b，c满足b+c≥a，则+的最小值为　　　　　　．

练习1．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为 ．

2．设是正实数,且,则的最小值是____.

3..若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为 ．

4．若实数满足，当取得最大值时，的值为 .

【题型五】判别式法
【典例7】已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 ．

练习1.若正实数满足，则的最大值为 ．

2.设，，则的最大值为________

变式1．在平面直角坐标系中，设点，，，，若不等式对任意实数都成立，则实数的最大值是 ．
【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判别式法、分离参数法、换主元法．判别式法：将所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有
1）对恒成立2）对恒成立
分离变量法：若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
确定主元法：如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。
2．设二次函数（为常数）的导函数为．对任意，不等式恒成立，则的最大值为 ．
【题型六】分离参数法
【典例8】已知x＞0，y＞0，若不等式x3+y3≥kxy（x+y）恒成立，则实数k的最大值为_______ ．

练习1．已知对满足的任意正实数，都有，则实数的取值范围为 .

2．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为 ．

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