二元一次方程组复习专题.doc

《二元一次方程组》复习专题
湖北省钟祥市罗集一中（431925）熊志新 唐志凌
一、知识结构图

二、具体知识点
1．二元一次方程:含有两个未知数，且未知项的次数为1，这样的方程叫二元一次方程，理解时应注意：①二元一次方程左右两边的代数式必须是整式，例如等，都不是二元一次方程；②二元一次方程必须含有两个未知数；③二元一次方程中的“一次”是指含有未知数的项的次数，而不是某个未知数的次数，如xy=2不是二元一次方程。
x=a
y=b

2．二元一次方程的解：能使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值叫做二元一次方程的解，通常用 的形式表示，在任何一个二元一次方程中，如果把其中的一个未知数任取一个数，都可以通过方程求得与之对应的另一个未知数的值。因此，任何一个二元一次方程都有无数解。
x+2y=3
3x-y=1
2x+4y=6

x=2
3．二元一次方程组：①由两个或两个以上的整式方程（即方程两边的代数式都是整式）组成，常用“ ”把这些方程联合在一起； ②整个方程组中含有两个不同的未知数，且方程组中同一未知数代表同一数量；③方程组中每个方程经过整理后都是一次方程，如：
3x-y=5
x=2
2x-y=1
x+y=2

等都是二元一次方程组。

4．二元一次方程组的解：注意：方程组的解满足方程组中的每个方程，而每个方程的解不一定是方程组的解。
5．会检验一对数值是不是一个二元一次方程组的解
检验方法：把一对数值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程，如果这对未知数既满足方程(1)，又满足方程(2)，则它就是此方程组的解。
6．二元一次方程组的解法：（1） 代入消元法 （2）加减消元法
三、理解解二元一次方程组的思想

四、解二元一次方程组的一般步骤
（一）、代入消元法
（1）从方程中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的未知数用另一个未知数的代数式来表示，如用 表示 ，可写成 ；
（2）将 代入另一个方程，消去 ，得到一个关于 的一元一次方程
（3）解这个一元一次方程，求出 的值；
（4）把求得的 的值代入 中，求出 的值，从而得到方程组的解．
（二）、加减法
（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，也不相等时，可用适当的数乘以方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等，得到一个新的二元一次方程组；
（2）把这个方程组的两边分别相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程；
（4）将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解。
一般来说，当方程组中有一个未知数的系数为1（或一1）或方程组中有1个方程的常数项为0时，选用代入消元法解比较简单；当同一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单。
五、列一次方程组解应用题
列一次方程组解应用题，是本章的重点，也是难点。列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，理顺各数量之间的关系；
（2）设：设未知数（一般求什么，就设什么为x、y，设未知数要带好单位名称）；
（3）找：找出能够表示应用题全部意义的两个相等关系；
（4）列：根据这两个相等关系列出需要的代数式，进而列出两个方程，组成方
程组；
（5）解：解所列方程组，得未知数的值；
（6）答：检验所求未知数的值是否符合题意，写出答案（包括单位名称）。
归纳为6个字：审，设，找，列，解，答。
六、典例解析
例1：判断下列方程是不是二元一次方程

分析：判断一个方程是否是二元一次方程需满足以下几条要求①含有两个未知数，②未知项的次数是“1”，③任何一个二元一次方程都可以化成 ，（ 为已知数）的形式，这种形式叫做二元一次方程的一般形式.也就是说任何一个方程只要能化成 （ ）.这个方程就是二元一次方程.
解：(1)不是，∵未知项次数为2；
（2）是，∵经过化简为 ，符合一般形式，∴是；
（3）不是，∵xy的次数是2；
（4）是，∵经过化简为x－y＝0，即符合定义，又能化为一般形式；
（5）不是，∵含有三个未知数，同时未知项 次数为2；
（6）不是，∵不是整式，像这样分母中含有未知数的方程都不属于二元一次方程；
例2：在下列每个二元一次方程组的后面给出了x与y的一对值，判断这对值是不是前面方程组的解？
（1） （2）
分析：把给出的x与y的一对值分别代入方程组的(1)、(2)两个方程若使(1)、(2)两个方程左、右两边都相等，才是方程组的解，否则不是。
解：（1）把代入方程(1)得，左边＝5，右边＝5，左边＝右边，
把代入方程(2)得，左边＝7，右边＝70，左边≠右边。
∴ 不是方程组的解。
（2）把分别代入方程组的(1),(2)两个方程，都满足：左边＝右边，
∴是方程组的解.。
说明：判断一对数是否是方程组的解，必须满足方程组的两个方程。
例3：解方程组
分析：方程①可以把y看作2+x，则方程②中的y就可以和2+x来代替，这样方程②就可以转化为一元一次方程．
解：把①代入②得 2x+2+x=6 3x=4 ∴
把代入①得，∴。
∴
例4：甲、乙两车分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动。甲车的速度较快，当两车反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两车同向运动时，每1分钟相遇一次，求两车的速度。
分析：在环路问题中，若两人同时同地出发，同向而行，当第一次相遇时，两人所走路程差为一周长；相向而行，第一次相遇时，两人所走路程和为一周长。
解：设甲、乙两车的速度分别为每秒 x米和每秒y米，根据题意，得

经检验，符合题意。
答：甲、乙两车的速度分别为25米/秒，15米/秒。
例5：张华到银行以两种形式分别存了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息
所得税后可得到利息43.92元，已知这两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利
率各是百分之几？（注：利息所得税=利息全额×20%）。
分析：利率问题：利息=本金×利率×时间。
解：设2000元、1000元的年利率分别为x%和y%，则根据题意，得方程组。

解方程组，x=2.25，y=0.99，
答：两种储蓄的年利润分别为2.25%和0.99%。
例6、某家具厂生产一种方桌，设计时1立方米的木材可做50个桌面，或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面在和桌腿使用的木材，使桌面、桌腿刚好配套，并指出共可生产多少张方桌？（一张方桌有1个桌面，4条桌腿）。
分析：解有关配套问题，要根据配套的比例，依据特定的数量关系列方程（组）求解。
解：设用x立方米的木材做桌面，y立方米的木材做桌腿，根据题意，

经检验符合题意，
此时，可做方桌为50×6=300（张）。
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌。
例7：以二元一次方程的解为坐标的点在平面直角坐标系中的图象是一条直线。根据这个结论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组中两个二元一次方程的图象，并根据图象写出这个二元一次方程组的解。
分析：因为任意两点可以确定一条直线，故只要分别列出两个点符合二元一次方程（1）、
（2）即可画出这两个二元一次方程的图象来。
解：由二元一次方程（1）得：
x
0
2
y
4
0
由二元一次方程（2）得：
X
0
-1
y
1
0
在同一直角坐标系中分别画出这两个二元一次方程的解的图象。

由图象可知：这两个二元一次方程的解的图象交于点P（1，2）。
∴方程组的解为。
例8：某市菜牛公司利用草场放牧菜牛代替圈养，公司有两处草场；草场甲的面积为3公顷，草场乙的面积为4公顷，两草场的草长得一样高，一样密，生长速度也相同。如果草场甲可供90头牛吃36天，草场乙可供160头牛吃24天（草刚好吃完），那么两处的草场合起来可供250头牛吃多少天？
分析：若直接设问题求解比较复杂，解决此问题关键是：每天牛吃草量；每公顷草场每天长草多少；同时还要知道每公顷草场的原有草量（此量只参与换算，没有必要求出来，可视为单位“1”）是多少。
解：设以原1公顷的草场的草量为1个单位，每头牛每天吃草为x个单位，每公顷草场每天长草为y个单位，则。

又设两处草场合起来可供250头牛吃a天，则。

得a = 28 故可吃28天。