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*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考情分析,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,总纲目录,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,考点聚焦,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,随堂检测,*,*,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,典题精练,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,题型特点,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,题组训练,考情分析总纲目录,考点聚焦,随堂检测,栏目索引,高考导航,真题回访,第,2,讲 不等式选讲,考情分析,总纲目录,考点一 绝对值不等式,考点二 不等式的证明,考点三 含绝对值不等式的恒成立问题,考点一绝对值不等式,含有绝对值的不等式的解法,(1)|,f,(,x,)|,a,(,a,0),f,(,x,),a,或,f,(,x,)-,a,;,(2)|,f,(,x,)|0),-,a,f,(,x,)0).,(1)当,a,=4时,已知,f,(,x,)=7,求,x,的取值范围;,(2)若,f,(,x,),6的解集为,x,|,x,-4或,x,2,求,a,的值.,解析,(1)因为|,x,+3|+|,x,-4|,|,x,+3-,x,+4|=7,当且仅当(,x,+3)(,x,-4),0时等号成,立.,所以,f,(,x,)=7时,-3,x,4,故,x,-3,4.,(2)由题意知,f,(,x,)=,当,a,+3,6时,不等式,f,(,x,),6的解集为R,不合题意;,当,a,+31的解集为,x,|1,x,3;,f,(,x,)1的解集为,.,考点二不等式的证明,1.含有绝对值的不等式的性质,|,a,|-|,b,|,|,a,b,|,|,a,|+|,b,|.,2.算术-几何平均不等式,定理1:设,a,b,R,则,a,2,+,b,2,2,ab,当且仅当,a,=,b,时,等号成立.,定理2:如果,a,、,b,为正数,则,当且仅当,a,=,b,时,等号成立.,定理3:如果,a,、,b,、,c,为正数,则,当且仅当,a,=,b,=,c,时,等号成,立.,定理4:(一般形式的算术-几何平均不等式)如果,a,1,a,2,a,n,为,n,个正数,则,当且仅当,a,1,=,a,2,=,=,a,n,时,等号成立.,典型例题,(2017课标全国,23,10分)已知,a,0,b,0,a,3,+,b,3,=2.证明:,(1)(,a,+,b,)(,a,5,+,b,5,),4;,(2),a,+,b,2.,解析,(1)(,a,+,b,)(,a,5,+,b,5,)=,a,6,+,ab,5,+,a,5,b,+,b,6,=(,a,3,+,b,3,),2,-2,a,3,b,3,+,ab,(,a,4,+,b,4,),=4+,ab,(,a,2,-,b,2,),2,4.,(2)因为(,a,+,b,),3,=,a,3,+3,a,2,b,+3,ab,2,+,b,3,=2+3,ab,(,a,+,b,),2+,(,a,+,b,),=2+,所以(,a,+,b,),3,8,因此,a,+,b,2.,方法归纳,不等式证明的常用方法,不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.如果已,知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法;如果待证命题是,否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑,用反证法.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简,化对问题的表述和证明.,跟踪集训,设,a,b,c,d,均为正数,且,a,-,c,=,d,-,b,证明:,(1)若,ab,cd,则,+,+,;,(2),+,+,是|,a,-,b,|,cd,得(,+,),2,(,+,),2,.,所以,+,+,.,(2)若|,a,-,b,|,c,-,d,|,则(,a,-,b,),2,(,c,-,d,),2,即(,a,+,b,),2,-4,ab,cd,.,由(1)得,+,+,.,若,+,+,则(,+,),2,(,+,),2,即,a,+,b,+2,c,+,d,+2,.,因为,a,+,b,=,c,+,d,所以,ab,cd,.,于是(,a,-,b,),2,=(,a,+,b,),2,-4,ab,(,c,+,d,),2,-4,cd,=(,c,-,d,),2,.,因此|,a,-,b,|,+,是|,a,-,b,|,a,恒成立,f,(,x,),min,a,;,f,(,x,),a,恒成立,f,(,x,),max,a,有解,f,(,x,),max,a,;,f,(,x,),a,有解,f,(,x,),min,a,无解,f,(,x,),max,a,;,f,(,x,)0).,(1)若,a,=3,解关于,x,的不等式,f,(,x,)0;,(2)若对于任意的实数,x,不等式,f,(,x,)-,f,(,x,+,a,),a,2,+,恒成立,求实数,a,的取值,范围.,解析,(1)当,a,=3时,f,(,x,)=|,x,-3|-,x,即|,x,-3|-,x,0,-,x,-3,x,解得2,x,6,故不等式的解集为,x,|2,x,6.,(2),f,(,x,)-,f,(,x,+,a,)=|,x,-,a,|-|,x,|+,原不等式等价于|,x,-,a,|-|,x,|,a,2,由绝对值不等式的性质,得|,x,-,a,|-|,x,|,|(,x,-,a,)-,x,|=|,a,|,原不等式等价于|,a,|0,a,1.,1.(2017课标全国,23,10分)已知函数,f,(,x,)=|,x,+1|-|,x,-2|.,(1)求不等式,f,(,x,),1的解集;,(2)若不等式,f,(,x,),x,2,-,x,+,m,的解集非空,求,m,的取值范围.,随堂检测,解析,(1),f,(,x,)=,当,x,2时,由,f,(,x,),1解得,x,2.所以,f,(,x,),1的解集为,x,|,x,1.,(2)由,f,(,x,),x,2,-,x,+,m,得,m,|,x,+1|-|,x,-2|-,x,2,+,x,.而|,x,+1|-|,x,-2|-,x,2,+,x,|,x,|+1+|,x,|-2-,x,2,+|,x,|,=-,+,且当,x,=,时,|,x,+1|-|,x,-2|-,x,2,+,x,=,.故,m,的取值范围为,.,2.(2017宝鸡质量检测(一)已知函数,f,(,x,)=|2,x,-,a,|+|2,x,+3|,g,(,x,)=|,x,-1|+2.,(1)解不等式|,g,(,x,)|5;,(2)若对任意,x,1,R,都存在,x,2,R,使得,f,(,x,1,)=,g,(,x,2,)成立,求实数,a,的取值范围.,解析,(1)由|,x,-1|+2|5得-5|,x,-1|+25,-7|,x,-1|3,得不等式的解集为,x,|-2,x,4.,(2)因为对任意,x,1,R,都存在,x,2,R,使得,f,(,x,1,)=,g,(,x,2,)成立,所以,y,|,y,=,f,(,x,),y,|,y,=,g,(,x,),又,f,(,x,)=|2,x,-,a,|+|2,x,+3|,|(2,x,-,a,)-(2,x,+3)|=|,a,+3|,g,(,x,)=|,x,-1|+2,2,所以|,a,+3|,2,解得,a,-1或,a,-5,所以实数,a,的取值范围为,a,-1或,a,-5.,
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