中考数学压轴题破解策略专题22《直角三角形的存在性》.pdf

1专题专题 2222直角三角形的存在性直角三角形的存在性破解策略破解策略以线段AB为边的直角三角形构造方法如右图所示：AB ABECF EFABC 直角三角形的另一个顶点在以A在以AB为直径的圆上，或过A、B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算 如图，若ACB90过点A、B作经过点C的直线的垂线，垂足分别为E、F则AECCFB从而得到线段间的关系式解决问题 （2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验 有时候将几何法和代数法相结合可以使得解题又快又好！例题讲解例题讲解 例 1 如图，抛物线l：yax22x3 与r轴交于A，B（3，0）两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，3）已知对称轴为x1 （1）求抛物线的表达式；（2）设点P是抛物线l上任意一点，点Q在直线x3 上，问：PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由xyCBAOlxyCMNABOQlPxylQAONBPM解：（1）由题意可得点A的坐标为（1，0）所以抛物线表达式可变为ya（x3）（x1）ax22ax3a 由点C的坐标可得3a3，a1 所以抛物线的表达式为yx22x3 （2）如图，过点P作PM垂直于直线l，垂足为M过点B作BN垂直于直线PM垂足为N2若PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，无论点P在BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得PQMBPN 所以PMBN设点P的坐标为（m，H，m22m3）则PM|m3|，BN|m22m3|，所以|m3|m22m3|解得m10，m21，m3，m43+3323332所以点P的坐标为（0，3），（1，4），（，），3+1323329（，）333232+39例 2 如图，一次函数y2x10 的图象与反比例函数y（k0）的图象相交于kxA、B两点（点A在点B的右侧），分别交x轴y轴于点E，F若点A的坐标为（4，2）问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P使PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，xyBAFPOExyOPEBFA 解：将点A（4，2）代入反比例函数表达式，得k8，所以反比例函数为y，8x 联立方程纽组，解得，8210yxyx 1142xy2218xy 所以点B的坐标为（1，8）由题意可得点EF的坐标分剐为（5，0），（0，10），以AB为直角迎的直角三角形有两种情况：如图 1，当PAB90时，连结OA，则OA22422 5 而AE，OE5，所以OA2AE2OE2，22125 即OAAB所以A，O，P三点共线 由O、A两点的坐标可得直线AP的表达式为yx123 联立方程组 解得，812yxyx1142xy2242xy 所以点P的坐标为（4，2）如图 2，当PBA90时，记BP与y轴的交点为G易证FBCFOE，所以，FBFOFGFE而FO10FE，FB225105 522125可求得FG，所以点G的坐标为（0，）由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式52152为yx，12152联立方程组 解得115228yxyx，1118xy，；221612xy，.所以点P的坐标为（16，）；12综上可得，满足条件的点P坐标为（4，2）或（16，）12 图 2FGxyAEOP例例 3 如图，抛物线C1：ya（x2）25 的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点A的横坐标是1D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋转 180后得到抛物线C2抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标4C1BADOF EQC2Pxy 解解 由题意可得点A（1，0），P（2，5），B（5，0）设点D的坐标为（m，0），则点Q的坐标为（2m2，5），E的坐标为（2m5，0），所以PQ2（2m4）2 102，PE2（2m7）252，EQ2325234PQE为直角三角形有三种情况：当PQE 90时，有PE2PQ2 EQ2，即（2m7）252（2m4）210234，解得m，所以点Q的坐标为（193，5）；443当QEP90时，有PQ2PE2 EQ2，即（2m4）2102（2m7）25234，解得m，所以点Q的坐标为（23，5）；103当QPE 90时，有EQ2PE2 PQ2，即（2m7）252（2m4）210234，方程无解，所以此种情况不成立，综上可得，当PQE为直角三角形时，顶点Q的坐标为（，5）或443（，5）103例例 4 如图在直角梯形ABCD中，ADBC，B 90，AD2，BC6，AB3E为BC边上一点，当BE2 时，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧当正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形BEFG，当点E与点C重合时停止平移设平移的距离为t，正方形BEFG的边EF与AC交于点M，连结BD，BM，DM问：是否存在这样的t，使BDM是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由5EBMFGCDAB解 存在满足条件的t理由如下：如图，过点D作DH BC于点H，过点M作MNDH于点N，则BHAD2，DHAB3 所以BBHEt，HB|t2|，EC4t 易证MECABC，可得，即，所以ME2tMEABECBC3ME46t12 在 RtBME中，有BM2ME2BE2t22t814 在 RtDHB中，有BD2DH2BH2t24t13 在 RtDMN中，DNDHNHt112 则DM2DN2MN2t2t154 若DBM90，则DM2BM2BD2，即t2t1（t22t8）（t24t13），5414 解得t1；207若BMD90，则BD2BM2DM2，即t24t13（t22t8）（t2t1），1454 解得t23，t33（舍）；1717若BDM90，则BM2BD2DM2，即t22t8（t24t13）（t2t1），1454 此方程无解 综上所得，当t或3时，BDM是直角三角形20717NHBADCGFMBE6进阶训练进阶训练1如图，在平面直角坐标系xOy中，RtOAB的直角顶点A在x轴上，OA 4，AB3动点M从点A出发，以每秒 1 个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒 125 个单位长度的速度，沿OB向终点B移动当两个动点运动了x（0 x4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由yxMNA BO解：（1）N（x，x）；34 （2）当OMN是直角三角形时，x的值为 2 或6441【提示】（1）过点N作NPOA于点P，由PONAOB即可求得；（2）分类讨论，通过OMN和OAB相似即可列出等式求得x的值POBA NMxy2如图，在平面直角坐标xOy中，直线ykx3 与双曲线y的两个交点为4xA，B其中A（1，a）若M为x轴上的一个动点，且AMB为直角三角形，求满足条件的点M的坐标 7A xyBO解：满足条件的点M的坐标为（5，0），（5，0），（，0）或3412（，0）3412【提示】先求出点A，B的坐标，再设点M的坐标，从而用待定字母表示AM2，BM2，AB2然后讨论直角，根据勾股定理列方程即可3如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴233384yxx=-+交于点 C （1）求点A，B的坐标；（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的一个动点，当以A，B，M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的表达式OCBAyx DEM3M2M1OCBAyx解：（1）A（4，0），B（2，0）；（2）直线l的表达式为或334yx=-+334yx=-【提示提示】（2）若ABM是直角三角形，则点M在以AB为直径的圆上，或过A，B且与AB垂直的直线上（A，B两点除外）由题意可得直线l与以AB为直径的圆相切（如图），点M1，M2，M 3即为满足条件的三个点，此时直线l：；根据对称性，直线l334yx=-+还可以为334yx=-4，如图，顶点为P（4，4）的二次函数图象经过原点O（0，0），点A在该图象上，OA8交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连结AN，ON （1）求该二次函数的表达式；（2）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请回答下列问题：证明：ANMONM；ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由yxOAMNPDl lDHPNMAOxy解：（1）；（2）略；ANO 能为直角三角形，符合条件的点A的坐标2124yxx=-为(44 2,4)+【提示提示】（2）过点A作AHl于点H，令l与x轴的交点为 D设点A（m，），则直线AO的表达式为，从而求得点M的坐标为2124mm-1(2)4ymx=-（4，m8），N的坐标为（4，m），只需证明 tanANHtanOND即可；分类讨论：当ANO90时，ANMONM45，点N与点P重合，点M与点D重合，不满足M，N关于点P对称，故此时不存在这样的点A；当NOA90时，有，求得满足条件的点A；12OPMN=(44 2,4)+当NAO90时，有，即，解得m4，12APMN=22221(4)(24)(4)4mmmm-+-+=-此时点A，P重合，不满足题意5抛物线yx22x3 的顶点为C，点A的坐标为（1，4），其对称轴l上是否存在点M，使线段MA绕点M逆时针旋转 90得到线段MB，且点B恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：存在，点M的坐标为（1，2）或（1，5）【提示】如图，连结AC，则ACl，作BDl于点D，则MCABDM，从而MDAC2，BDMC无论点A，B在l同侧还是异侧，设点M（1，m），都可得B（m3，m2），代入抛物线表达式即可求得m2 或 5，从而点M的坐标为（1，2）或（1，5）9B2M2M1D2D1OCB1Alyx