中考数学资料一次函数知识点总结.pdf

.中考数学资料中考数学资料一次函数知识点总结一次函数知识点总结基本概念基本概念1、变量：、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间 内所走vts vtst的路程,则变量是_,常量是_。在圆的周长公式 C=2r 中，变量是_，常量是_.2、函数：、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。*判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y=x (2)y=2x-1 (3)y=(4)y=2-1-3x (5)y=x2-11x中，是一次函数的有（）（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个3、定义域：、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x2 的是（）Ay=By=Cy=Dy=2x12x24x2x2x.函数中自变量 x 的取值范围是_.5yx已知函数，当时，y 的取值范围是（）221xy11xA.B.C.D.2325y2523 y2523 y2523 y5、函数的图像、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6 6、函数解析式：、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质、正比例函数及性质一般地，形如 y=kx(k 是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx(k 不为零)k 不为零 x 指数为 1 b取零当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b0b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限.图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限k0 时，向上平移；当 b0 或 ax+b0 时，直线必通过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0,b0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当 k0,b0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当 k0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当 k0,b0 时，直线必通过第一、二象限；当 b0 时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当 k0 时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。4、特殊位置关系：当平面直角坐标系 中两直线平行时，其函数解析式中K 值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K 值互为负倒数（即两个 K 值的乘积为-1）点斜式y-y1=k(x-x1)（k 为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y3）两点）截距式（a、b 分别为直线在 x、y 轴上的截距）实用型（由实际问题来做）用用公公式式1.求函数图像的 k 值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与 x 轴平行线段的中点：|x1-x2|/2 3.求与 y 轴平行线段的中点：|y1-y2|/2 4.求任意线段的长：(x1-x2)2+(y1-y2)2（注：根号下（x1-x2)与（y1-y2)的平方和）5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式 两个一次函数 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 令 y1=y2 得 k1x+b1=k2x+b2 将解得的 x=x0 值代回 y1=k1x+b1 y2=k2x+b2 两式任一式 得到 y=y0 则.(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标 6.求任意 2 点所连线段的中点坐标：（x1+x2）/2，（y1+y2）/2 7.求任意 2 点的连线的一次函数解析式：（X-x1）/(x1-x2)=(Y-y1)/(y1-y2)(其中分母为 0，则分子为 0)x y+，+（正，正）在第一象限 -，+（负，正）在第二象限 -，-（负，负）在第三象限 +，-（正，负）在第四象限 8.若两条直线 y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么 k1=k2，b1b2 9.如两条直线 y1=k1x+b1y2=k2x+b2，那么 k1k2=-1 10.y=k（x-n）+b 就是向右平移 n 个单位 y=k（x+n）+b 就是向左平移 n 个单位 一次函数的平移口诀：右减左加（对于 y=kx+b 来说，只改变 b）y=kx+b+n 就是向上平移 n 个单位 y=kx+b-n 就是向下平移 n 个单位 口诀：上加下减（对于 y=kx+b 来说，只改变 b）相关应用 生生活活中中的的应应用用1.当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量 S。g=S-ft。3.当弹簧原长度 b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度.y 是重物重量 x 的一次函数，即 y=kx+b（k 为任意正数）数数学学问问题题一一、确确定定字字母母系系数数的的取取值值范范围围 例 1 已知正比例函数 ，则当 k0 时，y 随 x 的增大而减小。解：根据正比例函数的定义和性质，得 且 my2，则 x1 与 x2 的大小关系是（）A.x1x2 B.x10，且 y1y2。根据一次函数的性质“当 k0 时，y 随 x 的增大而增大”，得 x1x2。故选 A。三三、判判断断函函数数图图象象的的位位置置 例 3.一次函数 y=kx+b 满足 kb0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：由 kb0，知 k、b 同号。因为 y 随 x 的增大而减小，所以 k0。所以 b30 时，Y1Y2 当 X30 时，Y10，则可以列方程组 -2k+b=-11 6k+b=9 解得 k=2.5 b=-6，则此时的函数关系式为 y=2.5x6（2）若 k0，则 y 随 x 的增大而增大；若 k0，则 y 随 x 的增大而减小。综综合合测测试试一、选择题：1.若正比例函数 y=kx 的图象经过一、三象限，则 k 的取值范围是（）A.k0 B.k0 D.k 为任意值 2.一根蜡烛长 20cm，点燃后每小时燃烧 5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间 x（小时）的函数关系用图象表示为（）3.（北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.4.（陕西省课改实验区）直线 与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为（）A.3 B.6 C.D.5.（海南省）一次函数 的大致图象是（）二、填空题：1.若一次函数 y=kx+b 的图象经过（0，1）和（1，3）两点，则此函数的解析式为 _.2.（2006 年北京市中考题）若正比例函数 y=kx 的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为 _.三、一次函数的图象与 y 轴的交点为（0，3），且与坐标轴围成的三角形的面积为 6，求这个一次函数的解析式.四、（芜湖市课改实验区）某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率和海拔高度 h（，单位 km）的函数关系式如图所示.（1）请你根据图象写出机车的机械效率 和海拔高度 h（km）的函数关系；（2）求在海拔 3km 的高度运行时，该机车的机械效率为多少？五、（浙江省丽水市）如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD 为 1.55米，双方场地的长 OA=OB=6.7（米）.羽毛球运动员在离球网 5 米的点 C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E 直线飞过，且 DE 为 0.05 米，刚好落在对方场地点 B 处.（1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式；（2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC 为多少米？（结果精确到 0.1 米）【综综合合测测试试答答案案】一、选择题：1.C 2.B 3.D 4.A 5.B.二、填空题：1.y=-2x+1 2.y=2x 三、分析：一次函数的解析式 y=kx+b 有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程.题目中一个条件比较明显，即图象和y 轴的交点的纵坐标是3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为 6”确定.解：设一次函数的解析式为 y=kx+b，函数图象和 y 轴的交点的纵坐标是 3，函数的解析式为 .求这个函数图象与 x 轴的交点，即解方程组：得 即交点坐标为（，0）由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得 这个一次函数的解析式为 四、解：（1）由图象可知，与 h 的函数关系为一次函数 设 此函数图象经过（0，40%），（5，20%）两点 解得 （2）当 h=3km 时，当机车运行在海拔高度为 3km 的时候，该机车的机械效率为 28%五、解：（1）依题意，设直线 BF 为 y=kx+b OD=1.55，DE=0.05 即点 E 的坐标为（0，1.6）又OA=OB=6.7.点 B 的坐标为（6.7，0）由于直线经过点 E（0，1.6）和点 B（6.7，0），得 解得，即：（2）设点 F 的坐标为（5，），则当 x=5 时，则 FC=2.8 在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2.8 米 常常见见题题型型常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对大家的学习有所帮助。一.定义型 例 1.已知函数 是一次函数，求其解析式。解：由一次函数定义知，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 。如本例中应保证 二.点斜型 例 2.已知一次函数 的图像过点（2，1），求这个函数的解析式。解：一次函数 的图像过点（2，1），即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数 ，当 时，y=1，求这个函数的解析式。三.两点型 已知某个一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为 _。解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 四.图像型 例 4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数 的图像过点（1，0）、（0，2）有 故这个一次函数的解析式为 五.斜截型 例 5.已知直线 与直线 平行，且在 y 轴上的截距为 2，则直线的解析式为 _。解析：两条直线 ：；：。当，时，直线 与直线 平行，。又 直线 在 y 轴上的截距为 2，故直线的解析式为.六.平移型 例 6.把直线 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为_。解析：设函数解析式为 ，直线 向下平移 2 个单位得到的直线 与直线 平行 直线 在 y 轴上的截距为 ，故图像解析式为 七.实际应用型 例 7.某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为0.2 升/分钟，则油箱中剩油量 Q（升）与流出时间 t（分钟）的函数关系式为_。解：由题意得 ，即 故所求函数的解析式为 （）注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。八.面积型 例 8.已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 _。解：易求得直线与 x 轴交点为（，0），所以，所以，即 故直线解析式为 或 九.对称型 若直线 与直线 关于（1）x 轴对称，则直线 l 的解析式为（2）y 轴对称，则直线 l 的解析式为 （3）直线 y=x 对称，则直线 l 的解析式为（4）直线 对称，则直线 l 的解析式为 （5）原点对称，则直线l 的解析式为 例 9.若直线 l 与直线 关于 y 轴对称，则直线 l 的解析式为_。解：由（2）得直线 l 的解析式为 十.开放型 例 10.已知函数的图像过点 A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。解：（1）若经过 A、B 两点的函数图像是直线，由两点式易得 （2）由于A、B 两点的横、纵坐标的积都等于 4，所以经过 A、B 两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为 （3）其它（略）十一.几何型 例 11.如图，在平面直角坐标系中，A、B 是 x 轴上的两点，以 AO、BO 为直径的半圆分别交 AC、BC 于 E、F 两点，若C 点的坐标为（0，3）。（1）求图像过 A、B、C 三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点 E、F 的一次函数的解析式。解：（1）由直角三角形的知识易得点 A（，0）、B（，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为 ，对称轴是 （2）连结 OE、OF，则、。过 E、F 分别作 x、y 轴的垂线，垂足为 M、N、P、G，易求得 E（，）、F（，）由待定系数法可求得一次函数解析式为 十二.方程型 例 12.若方程 的两根分别为 ，求经过点 P（，）和.Q（，）的一次函数图像的解析式 解：由根与系数的关系得 ，点P（11，3）、Q（11，11）设过点 P、Q 的一次函数的解析式为 则有 解得 故这个一次函数的解析式为 十三.综合型 例 13.已知抛物线 的顶点 D 在双曲线 上，直线 经过点 D 和点 C（a、b）且使 y 随 x 的增大而减小，a、b 满足方程组 ，求这条直线的解析式。解：由抛物线 的顶点 D（）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：，顶点 D1（1，5）及 顶点 D2（，15）解方程组得，即 C1（1，4），C2（2，1）由题意知 C 点就是C1（1，4），所以过 C1、D1 的直线是；过 C1、D2 的直线是数学术语.经经典典例例题题 1 在在直直角角坐坐标标系系 xOY 中中，直直线线 L 过过(1,3)和和(3,1)两两点点，且且 X 与与轴轴、Y 轴轴分分别别交交于于 A、B(1)求直线 L 的函数解析式;(2)求AOB 的面积.1、y=kx+b 则 3=k+b 1=3k+b 所以 k=-1,b=4 y=-x+4 2、y=0,x=4 x=0,y=4 所以面积=442=8 2 为为了了扩扩大大内内需需，让让惠惠于于农农民民，丰丰富富农农民民的的业业余余生生活活，国国家家决决定定对对购购买买彩彩电电的的农农户户实实行行政政府府补补贴贴。规规定定 每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查发现，某市场销售彩电台数y 台与政府补贴款额 x 元之间大致满足如图、.(1)该商场销售家电的总收益为 80000=160000(元)(2)依题意可设 y=k1x+800,Z=k2x+200 有 400k1+800=1200,200k2+200=160,解得 k1=1,k2=-.所以 k1=1,k2=-.y=x+800,z=-x+200.(3)W=yz=(x+8000)(-x+200)=-(x-100)2+162000 政府应将每台补贴款额 x 定为 100 元,总收益有最大值.其最大值为 162000 元.