初中数学竞赛标准教程及练习或者与并且模板.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习( 59)
”或者”与”而且”
一、 内容提要
1.”或者”与”而且”的词义是清楚的, 区别也是明显的. 例如:
① 正整数a是3或5的倍数, 那么a=3, 5, 6, 9, 10, 12, 15……;
如果正整数b是3的倍数且是5的倍数, 那么b=15, 30, 45, 60, …….
在正整数中, 设3的倍数的集合为P, 5的倍数集合为Q, 那么 :
a 是P和Q两个集合中的所有元素, 而b是这两个集合中的公共元素.
② 是方程x+y=1的一个解. 这里的大括号表示”而且”即当
x=2而且y=－1时, 等式x+y=1成立.
等价于x=2而且y=－1.
记作 x=2而且y=－1.
x=2, x=－2是方程x2－4=0 的两个解.
即当x=2或者x=－2时, 等式x2－4=0成立.
x=2或x=－2 可记作 x=±2 .　　
即 x=±2 x=2或x=－2.
2. 用”或者”与”而且”表示命题的等价命题.
①.x≥4x>4或x=4.
②.－4<x<4x>－4且x<4
③.x ≠2x<2或x<2
④.x≠±2x≠2且x≠－2
x<－2 或－2< x<2 或x>2 (实数x记在数轴上)如图:

－2 0 2

3. 判断带有”或者”词义的命题的真假:
第一种, 命题结论带有”或者”的. 例如:
⑤ 命题3≥2, 读作3大于2或等于2, 它是真命题. 因为”3大于2”,
”3等于2”两个命题, 用”或者”连结, 只要有一个成立, 就是真命题.
⑥命题”如果a=0,那么a2≥0”, 也是真命题, 因为这个命题等价于:
若a=0, 则a2>0或a2=0, 两个结论, 用”或者”连结, 有一个成立即可.
第二种, 命题的题设出现”或者”的. 例如
⑦ 命题”如果a≥0, 则a2=0”. 读作如果a=0或a>0, 则a2=0. 它是假命题 因为命题的两个题设都使结论成立是不可能的. 这个命题等价于: 若a=0,则a2=0且若a>0, 则a2=0. 两个命题要同时成立才是真命题.
⑧ 方程和方程组的解:
方程( x－a)(x－b)=0, 同解于x－a=0或者x－b=0.
方程组 同解于x－a=0而且x－b=0.
⑨ 不等式和不等式组的解集:
不等式组 等价于x+a>0而且x+b>0.
不等式(x+a)(x+b)>0 等价于 或者
二、 例题
例1.写出下列命题的等价命题:
①实数a, b, c都不为零; ②实数a,b,c不都为零; ③x=±3且y＝±2; ④
解: ①. a, b, c都不为零.a≠0且b≠0且c≠0.abc≠0.
②. a, b, c不都为零a, b, c中至少有一个不为零.
a≠0或b≠0或c≠0.
不是a, b, c都等于零.
a2+b2+c2≠0.
③. x=±3且y＝±2

或或或 ④. 或
例2. 解方程组
解: 由x2=4, 得x=±2.
把x=±2.代入4＋y2=6, 得y=±.
　 ∴原方程组的解是
即原方程组有四个解:
例3. 已知: a, b, c是△ABC的三边, 试按下列条件判定三边之间的大小关系:
　 ①　( a－b) (b－c)=0 ; ②( a－b) 2+(b－c)2=0.
解: ① ∵当a－b=0或b－c=0时, 等式成立.
∴a, b, c三边的大小关系是:
a=b; 或b=c; 或a=b=c.
②　∵当( a－b) 2＝0且(b－c)2＝0时, 等式成立.
　 ∴
∴a, b, c三边的大小关系是: a=b=c.
例4. x取什么值时, 下列各式在实数范围内有意义?
　 ①; 　　　 ②.
解: ① 有意义.

这个不等式组的解集, 是　－1≤x≤3.
∴当－1≤x≤3时, 有意义.
② 有意义.

∴这个不等式组的解集, 是: x≥0且x≠16.

0 16
即当0≤x＜16或x>16时, 有意 义.
例5. 绝对值的几何意义是: 在数轴上, 一个数的绝对值, 就是表示这个数的点离开原点的距离.根据上述定义, 解不等式: ①＜5; 　②＞3.
解: ①　＜5, 就是表示x 的点离开原点的距离小于5.　( 如图)
即　x>－5且x<5.
∴＜5的解集是－5＜x＜5. 　　　－5　　　　0　　　　5
②　＞3, 就是表示y的点离开原点的距离大于3.　( 如图)

－3 0 3　
即y<－3 或y>3.
∴＞3的解集, 是; y<－3　或y>3 .
例6. 已知: 方程无解.
求: t的值.　　　　　　　 解: 去分母, 得x+2+t(x －2)=0.
整理为关于x的一次方程, (t+1)x=2(t－1).
当　时, 原方程无解. 　
解这个方程组, 得: t=－1;
当x=2　或x=-2时原方程也无解.( ∵这是增根) .
分别以x=2, 　x=－2代入方程 (t+1)x=2(t－1).
当x=2, t无解; 　　 当x=－2 时, t=0.
综上所述,
当t=－1　或t=0　时, 方程无解.
三、 练习59
1.　填空:
① 当a=＿＿＿＿＿＿＿ 时, 　没有意义.
② 当x＿＿＿＿＿＿＿＿时, 有意义.
③ 当x＿＿＿＿＿＿＿＿时, 在实数范围内有意义.
④ 当整数b=__________　时, 的值是整数.　
⑤ 方程x+y=2　的正整数解是＿＿＿＿＿＿, 非负整数解是＿＿＿＿＿＿＿＿.
⑥ 平面内不重合的两条直线的位置关系有＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
⑦ 经过一点有一条＿＿只有一条直线和已知直线垂直.
2.　用”或者”或”而且”连接词写出下列命题的等价命题
①　x≠0＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
②　a≠±3＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
③　－3＜x≤2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
3.　用含有”或者”或”而且”的连接词叙述下列命题, 并判断其真假.
①如果x2=16, 　那么x= ±4. 　　②如果a=±3, 那么=3.
③如果x=0, 　　　那么x2≥0. 　④如果y ≥0, 　那么y2>0.
⑤如果＜4, 　　那么－4<x<4.　　　　⑥如果≥2, 　那么y≤－2或y≥2.
⑦如果x是实数, 　那么x2+1≥0.　　…..⑧如果x≥－3, . 那么＝x+3.
4.　x取什么值时, 下列各式能成立?

①( x-2) (x+3)=0 ; 　　　②(x+1)(x-2)>0; 　　③2＜x －1<5.
5.　解方程组　
6.　解不等式组　
7.　若a是不为0的实数, 那么根式的取值范围是什么?
　　　　　　　　　　　　　　　a,b 是实数, 若要由a2>b2 能得出a>b, 那么a,　b 应满足什么条件?
9.　△ABC中∠A≤∠B≤∠C且2∠C=5∠A, 那么∠B的取值范围是什么?
10. a,　b,　c 三实数不都是零, 可表示为( 　 )
　　(A) a+b+c ≠0. 　(B) abc≠0 . 　　(C) a2+b2+c2≠0. 　(D) ab+bc+ca ≠0.
11. 已知最简根式a 与是同类根式, 那么应满足条件的a,　b 的值
是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.　　
12. 方程=ax+2 有一个负数根且没有正数根, 那么a 的取值范围是____________.