辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期11月期中考试 数学（含答案）.docx

辽宁省重点高中沈阳市郊联体
2024-2025学年度上学期期中考试高一年级试题
数学
第一部分选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，，则（ ）
A、B.C.D.
2.不等式的解集是（ ）
A.B.C.D.
3.函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A.B.C.D.
4.使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.B.C.D.
5.命题：，，则命题的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
6.已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.已知函数在闭区间上有最大值6，最小值2，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
8.定义在上的函数若满足：①对任意，都有；②对任意，都有，则称函数是以为中心的“中心捺函数”.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，若，则的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A.B.C.D.
10.已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A.函数有最大值
B.
C.
D.的解集为
11.已知定义域为的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若，则
C.，使得对，恒成立
D.若，则
第二部分非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则______.
13.已知，，且，则______.
14.函数，，若，使成立，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）设集合，.
（1）若且，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围.
16.（15分）函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的解析式；
（2）判断并证明的单调性；
17.（15分）
（1）小萌和小新在讨论一道题：“已知正数，满足，求的最小值.”
小萌认为：因为且，所以，所以的最小值是12.
你认为小萌的解法是否正确，如果错误，请给出正确解答过程。并说说从中你学到了什么？（应用不等式时要注意什么？）
（2）请帮助小萌和小新同学完成下面的问题.已知且，求的最小值.
18.（17分）已知函数，满足.
（1）求，值；
（2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数的取值范围；
（3）设当时，函数的最小值为，求的解析式.
19.（17分）对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”.
（1）写出集合的一个“有趣的”四元子集：
（2）证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：
（3）证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集.
辽宁省重点高中沈阳市郊联体2024-2025学年度上学期期中考试
高一年级试题（答案）
一、单项选择题
1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.B 7.D 8.C
二、多项选择题
9.AB 10.ABD 11.BC
三、填空题
12.47 13.1或 14.
四、解答题
15题
（1）因为，且，所以，
解得，，
综上所述，的取值范围为.
（2）由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，解得，，满足题意；
当时，因为，所以，解得，
或无解；
综上所述，的取值范围为.
16题
（1）由题函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
又由，得，解得，
所以，
（2）在区间上为增函数.
证明如下：
设，则，
由，
得，即，，，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
17题
（1）不正确.
因为，所以.
又，均为正数，所以，
当且仅当，即时取等号.
所以，当且仅当，即，时取等号.
综上，的最小值为16.
多次连用基本不等式后，一定要注意验证等号成立的条件
（2）方法一：因为，所以
所以.
当且仅当且时，即，时取等号.
综上，的最小值为.
方法二：

当且仅当，即时等号成立.
18题
（1）因为二次函数满足，
则，解得.
所以
（2）若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，
则在上恒成立，即在上恒成立，
因为开口向上，对称轴为，
可知在上单调递减，
则，可得，
所以实数的取值范围为.
（3）因为是对称轴为，开口向上的二次函数，
当时，在上单调递增，则；
当，即时，在上单调递减，
则；
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
可知；
综上所述：.
19题
（1）；
（2）假设可以划分，
∵，∴和一定是一个奇数一个偶数，
∴，，，中至多两个偶数.
则对于的一种符合要求的划分和，
每个四元子集中均有两个偶数.
若两个集合分别为和，
则或49，不存在，使得符合要求：
若两个集合分别为和，
则或13，不存在，使得符合要求：
若两个集合分别为和，
则或25，不存在，使得符合要求；
综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集，
（3）假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，，…，，.
∵每个子集中至多两个偶数，又1，2，…，中恰有个偶数，
∴每个子集中均有两个偶数，
∴对于，可设，其中，是偶数，，为奇数，
再由奇偶性，只能是.
∵，
且，.
∴，矛
盾.
∴不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集.