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衡阳县四中2024-2025学年下学期高一第一次月考卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若集合M={x∣x<4},N=y∣y=x2−2x，则M∩N=（ ）
A．{x∣0≤x<16}B．{x∣−1≤x<16}
C．{x∣0≤x<2}D．x∣x≥−1
2．已知a,b∈R，则“ab>1”是“a−1b−1>0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
5．已知向量满足，，，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．函数fx=cosx⋅lnx2+1−x的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数fx=4cosωx+φω>0图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f−6φπ=（ ）
A．0B．2φC．4D．φ2
8．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若，则
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，则
10.在△ABC中，，则角A为（ ）
A．B．C．D．
11．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ）
A．φ=π3
B．fx的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到
C．x=−11π12是函数fx图象的一条对称轴
D．若fx1−fx2=2，则x2−x1的最小值为π2
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，，且，则.
13．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则．
14．定义：minx,y为实数x,y中较小似数.已知ℎ=mina,ba2+4b2，其中a,b均为正实数，则ℎ的最大值是.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. (本小题满分 13 分)平面内给定两个向量
（1）求夹角的余弦值。
（2）求
16．（15分）已知函数fx=cosπ2+xsin−xtanπ+x.
(1)若fx=−1225，且x∈0,π，求cosx−sinx的值；
(2)设函数gx=2fx+sinx+cosx，若x∈0,π2，求gx的最大值.
17．（15分）在△ABC中，.
(1)求角；
(2)若.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求△ABC的面积.
18．（17分）已知函数fx=2sinxcosx−cos2x−π6
(1)求fx的单调递增区间；
(2)将fx的图象向左平移π24个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，若∃x∈0,π,2gx+sin2x≤2m2−3m，求m的取值范围；
(3)若方程fx=35在0,π上的解为x1,x2x1<x2，求sinx1−x2．
19．在△ABC中，角所对的边分别为.
(1)若，求△ABC的面积S；
(2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
数学答案
1．A
2．D
3．C
4．B
5．C
6．B
7．C
8．D
9．CD
10.AB
11．ACD
12．
13.
14．12/0.5
15.
16．
【解析】（1）由题知fx=cosπ2+x⋅sin−xtanπ+x=−sinx⋅−sinxtanx=sinxcosx，
因为fx=−1225,x∈0,π，所以sinxcosx=−1225，且sinx>0,cosx<0，
所以cosx−sinx=−(cosx−sinx)2=−1−2sinxcosx=−1+2425=−75.
（2）法一：因为x∈0,π2，所以sinx>0且cosx>0.
由题设gx=2sinxcosx+sinx+cosx≤sin2x+cos2x+2⋅sin2x+cos2x=1+2，
当且仅当sinx=cosx=22时取等，故gx的最大值为1+2.
法二：令t=sinx+cosx，
首先x∈0,π2，所以sinx+cosx=2sin(x+π4)>1，
其次t≤2sin2x+cos2x=2，当且仅当sinx=cosx=22时取等，
所以1<t≤2，
所以gx=t2+t−1=t+122−54,1<t≤2，
当t=2时，g(x)max=1+2，即gx的最大值为1+2.
17．
【解析】：（1）因为，即，
由正弦定理可得，
，
即，可得，
且，则，可得，
又因为，所以.
（2）（ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*），
整理得：，即，代入（*）可得，
由余弦定理，；
（ⅱ）∵，由（ⅰ）得：，
解得，
∴.
18．
【解析】（1）fx=2sinxcosx−cos2x−π6=sin2x−cos2xcosπ6−sin2xsinπ6
=sin2x−32cos2x−12sin2x=12sin2x−32cos2x=sin2x−π3
由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，
所以fx的单调递增区间为kπ−π12,kπ+5π12,k∈Z．
（2）fx图象上的所有点向左平移π24个单位后，得到y=sin2x+π24−π3=sin2x−π4
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到gx=sinx−π4
因为∃x∈0,π,2sinx−π4+sin2x≤2m2−3m，
所以当x∈0,π时，2sinx−π4+sin2xmin≤2m2−3m
y=2sinx−π4+sin2x=sinx−cosx+2sinxcosx=sinx−cosx+1−(sinx−cosx)2
令t=sinx−cosx,x∈0,π，则t=2sinx−π4∈−1,2
y=t+1−t2=−t−122+54，所以当t=−1时，y=−t2+t+1取得最小值，最小值为−1
所以−1≤2m2−3m，解得m≥1或m≤12，故m的取值范围为−∞,12∪1,+∞．
（3）因为x1,x2为方程sin2x−π3=35在0,π上的两解，
y=sin2x−π3在0,π上的图象如图所示
因为x1<x2，则π6<x1<5π12．
由图可知，x1,x2关于直线x=5π12对称，所以x1+x2=5π6，即x2=5π6−x1
所以sinx1−x2=sin2x1−5π6=sin2x1−π3−π2=−cos2x1−π3．
因为π6<x1<5π12，所以0<2x1−π3<π2
又因为sin2x1−π3=35，所以cos2x1−π3=45
所以sinx1−x2=−cos2x1−π3=−45
19．
【详解】（1）由，
得.
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在△ABC中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即△ABC的面积S为.
（2）因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.
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