湖南省衡阳市衡阳县第四中学2024-2025学年高一下学期3月第一次月考数学试题（含答案）.docx

衡阳县四中2024-2025学年下学期高一第一次月考卷
数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．若集合M={x∣x<4},N=y∣yx2−2x，则M∩N=（    ）
A．{x∣0≤x<16}B．{x∣−1≤x<16}
C．{x∣0≤x<2}D．x∣x≥−1
2．已知a,b∈R，则“ab>1”是“a−1b−1>0”的（    ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（    ）
A．B．
C．D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，则△ABC的形状为（    ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形
5．已知向量满足，，，则向量的夹角为（    ）
A．B．C．D．
6．函数fx=cosx⋅lnx2+1−x的图象大致为（   ）
A．B．
C．D．
7．已知函数fx=4cosωx+φω>0图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为5，则f−6φπ=（    ）
A．0B．2φC．4D．φ2
8．设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（    ）
A．B．C．D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9．下列命题正确的是（   ）
A．零向量是唯一没有方向的向量
B．若，则
C．若都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线
D．若，则
10.在△ABC中，，则角A为（   ）
A．B．C．D．
11．已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（    ）

A．φ=π3
B．fx的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位长度得到
C．x=−11π12是函数fx图象的一条对称轴
D．若fx1−fx2=2，则x2−x1的最小值为π2
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知向量，，且，则.
13．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则．
14．定义：minx,y为实数x,y中较小似数.已知ℎ=mina,ba2+4b2，其中a,b均为正实数，则ℎ的最大值是.
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. (本小题满分 13 分)平面内给定两个向量
（1）求夹角的余弦值。
（2）求

16．（15分）已知函数fx=cosπ2+xsin−xtanπ+x.
(1)若fx=−1225，且x∈0,π，求cosx−sinx的值；
(2)设函数gx=2fx+sinx+cosx，若x∈0,π2，求gx的最大值.

17．（15分）在△ABC中，.
(1)求角；
(2)若.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求△ABC的面积.

18．（17分）已知函数fx=2sinxcosx−cos2x−π6
(1)求fx的单调递增区间；

(2)将fx的图象向左平移π24个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，若∃x∈0,π,2gx+sin2x≤2m2−3m，求m的取值范围；
(3)若方程fx=35在0,π上的解为x1,x2x14．12/0.5
15.

16．
【解析】（1）由题知fx=cosπ2+x⋅sin−xtanπ+x=−sinx⋅−sinxtanx=sinxcosx，
因为fx=−1225,x∈0,π，所以sinxcosx=−1225，且sinx>0,cosx<0，
所以cosx−sinx=−(cosx−sinx)2=−1−2sinxcosx=−1+2425=−75.
（2）法一：因为x∈0,π2，所以sinx>0且cosx>0.
由题设gx=2sinxcosx+sinx+cosx≤sin2x+cos2x+2⋅sin2x+cos2x=1+2，
当且仅当sinx=cosx=22时取等，故gx的最大值为1+2.
法二：令t=sinx+cosx，
首先x∈0,π2，所以sinx+cosx=2sin(x+π4)>1，
其次t≤2sin2x+cos2x=2，当且仅当sinx=cosx=22时取等，
所以1解得，
∴.
18．
【解析】（1）fx=2sinxcosx−cos2x−π6=sin2x−cos2xcosπ6−sin2xsinπ6
=sin2x−32cos2x−12sin2x=12sin2x−32cos2x=sin2x−π3
由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2,k∈Z得kπ−π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，
所以fx的单调递增区间为kπ−π12,kπ+5π12,k∈Z．
（2）fx图象上的所有点向左平移π24个单位后，得到y=sin2x+π24−π3=sin2x−π4
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到gx=sinx−π4
因为∃x∈0,π,2sinx−π4+sin2x≤2m2−3m，
所以当x∈0,π时，2sinx−π4+sin2xmin≤2m2−3m
y=2sinx−π4+sin2x=sinx−cosx+2sinxcosx=sinx−cosx+1−(sinx−cosx)2
令t=sinx−cosx,x∈0,π，则t=2sinx−π4∈−1,2
y=t+1−t2=−t−122+54，所以当t=−1时，y=−t2+t+1取得最小值，最小值为−1
所以−1≤2m2−3m，解得m≥1或m≤12，故m的取值范围为−∞,12∪1,+∞．
（3）因为x1,x2为方程sin2x−π3=35在0,π上的两解，
y=sin2x−π3在0,π上的图象如图所示

因为x1