初中数学竞赛标准教程及练习17：奇数、偶数.doc

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初 中数学竞赛精品标准教程及练习（17）
奇数　偶数
一、内容提要
1． 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被2整除的整数是偶数，如2，0－2…，不能被2整除的整数是奇数，如－1，1，3。
如果n 是整数，那么2n是偶数，2n－1或2n+1是奇数。如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n-1是正奇数。
2． 奇数、偶数是整数的一种分类。可表示为：
　　　整数　　　　　　　或 整数集合
　这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数。
3． 奇数偶数的运算性质：
　奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数
　奇数×奇数＝奇数　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
　奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数，
　两个連续整数的和是奇数，积是偶数。
二、例题
例1 求证：任意奇数的平方减去1是8的倍数
证明：设k为整数，那么2k－1是任意奇数，
（2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1)
∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数　∴4k(k－1)是8的倍数
即任意奇数的平方减去1是8的倍数
例2 已知：有n个整数它们的积等于n，和等于0　
求证：n是4的倍数
证明：设n个整数为x1,x2,x3,…xn 根据题意得
如果n为正奇数，由方程（1）可知x1,x2,x3,…xn都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适合方程（2）右边的0，所以n一定是偶数；
当n为正偶数时，方程（1）左边的x1,x2,x3,…xn中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的0，左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有2个。
所以n是4的倍数。
例3己知：a,b,c都是奇数
求证：方程ax2+bx+c=0没有整数解
证明：设方程的有整数解x，若它是奇数，这时方程左边的ax2，bx，c都是奇数，而右边0是偶数，故不能成立；
若方程的整数解x是偶数，那么ax2,bx,都是偶数，c是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。
既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数，
∴方程ax2+bx+c=0没有整数解 (以上的证明方法是反证法)
例4求方程x2－y2＝60的正整数解
　　解：(x+y)(x－y)=60，
60可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10
左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数
因此x, y必湏是同奇数或同偶数，且x>y>0,适合条件的只有两组

解得　　　　
∴方程x2－y2＝60的正整数解是　　
三、练习17
1． 选择题
①设n是正整数，那么n2+n-1的值是（　　）
（A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数
②求方程85x－324y=101的整数解，下列哪一个解是错误的？（　　）
　（A）（B）（C）（D）
2． 填空：
①能被3，5，7都整除的最小正偶数是＿＿＿
②能被9和15整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿

③1＋2＋3＋…＋2001＋2002的和是奇数或偶数？答＿＿
④正整数1234…20012002是奇位数或偶位数？答＿＿
⑤能被11整除，那么n是正奇数或正偶数？答＿＿
3． 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？
4． 试说明方程2x+10y=77没有整数解的理由
5． 求证：两个連续奇数的平方差能被8整除
6． 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数
7． 求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5的整数解
8． 方程19x+78y=8637的解是( )
(A) (B) (C) (D)
9. 十进制中，六位数能被33整除，求a,b的值

练习17参考答案：
1.①B，②D
2.①210，②45，945 ③奇数(有奇数个奇数)，④奇数位，⑤正偶数
3.整数按奇数，偶数分为两类，3个整数中必有两个同是奇数或同偶数，故它们的和是偶数
4.∵左边2，10、都是偶数，x.y不论取什么整数，都是偶数，而右边是奇数，等式不能成立
5.(2n+1)2-(2n-1)2=8n
6.任意两个奇数可设为2m-1,2n-1
7.∵两个整数的平方和5为，只有(±1)2+(±2)2=5或(±2)2+(±1)2=5
可得四个方程组，解得
8. (D) 9. a=9， b=2；a=2， b=6；a=5 ，b=9。