合肥市第一六八高二数学上学期期末考试试卷理.doc

合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试
理科数学试卷
考试时间： 120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷（选择题 满分50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．两直线和互相垂直，则（ ）
A． B． C．或 D．或
2．已知圆的一条斜率为的切线为，且与垂直的直线平分该圆，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
1
3
1
2
3．已知某空间几何体的正视图和侧视图相同，且如右图所示，俯视图是两个同心圆，则它的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．下面说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．实数是成立的充要条件
C．设为简单命题，若“”为假命题，则“”也为假命题
D．命题“若，则”的为真命题
5．若是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线，；②存在一个平面，；③存在两条平行直线，且，；④存在两条异面直线．那么可以是的充分条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．正三棱柱中，底面边长为，若异面直线与所成的角为，则该三棱柱的侧棱长为（ ）．
A．或 B． C． D．
7．已知命题函数的定义域为，命题不等式对一切正实数均成立．如果，命题“”为真命题，命题“”为假命题，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．无解
8．已知抛物线上的一定点和两个动点、，当时，点的横坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．过椭圆上一点作圆的两条切线，为切点，过的直线与轴、轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积的最小值为(　 　)
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）
11．直三棱柱的各个顶点都在同一个球面上，若，则此球的表面积为 ．
12．已知双曲线的方程为，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的上支上，则的最小值为 ．
13．一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．
14．已知平面上点，则满足条件的点在平面上所组成的图形的面积为 ．
15．已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作
①若点，线段，则；
②设是长为的定线段，则集合所表示的图形面积为；
③若，，，，线段，，则到线段，距离相等的点的集合；
④若，，，，线段，，则到线段，距离相等的点的集合．
其中正确的有 ．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）
16．（本小题满分12分）
在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为，求的面积．

17．（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，为上的点，且平面．

B
A
D
C
F
E
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.

18．（本小题满分13分）
已知圆和点．
（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求正数的值，并求出切线方程；
（2）若，过点的圆的两条弦，互相垂直．
①求四边形面积的最大值；②求的最大值．

19．（本小题满分12分）
椭圆的中心为坐标原点，右焦点为 ，且椭圆过点．的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且．若直线的斜率之和为，求证：为定值．

20．（本小题满分13分）
如图，在直角梯形中，，，，，为上一点，且，，现沿折叠使平面平面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）能否在边上找到一点使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在请说明理由．

21．（本小题满分13分）
椭圆的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
x
y
A
N
M
B
O
D
（2）已知直线过点且与开口向上，顶点在原点的抛物线切于第二象限的一点，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，若，,且，求抛物线的标准方程．

合肥一六八中学高二年级2014-2015学年第一学期期末考试
理科数学试卷答案
第Ⅰ卷（选择题 满分50分）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
D
C
D
B
C
B
D
第Ⅱ卷（非选择题 满分100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置）
11． 12．
13． 14．
15．①③④
三、解答题：（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内）
16．解：由方程组解得顶点．………………………2分
又的斜率为，且轴是的平分线，故直线的斜率为，
所在的直线方程为．………………………6分
已知边上的高所在的直线方程为，故的斜率为，
所在的直线方程为．………………………8分
解方程组得顶点的坐标为．.………………………10分，点到直线的距离
………………………12分
17．证：（1）由题意可得是的中点，连接平面，则，而，
∴是中点，在中，，∴平面. ………………………4分
（2）平面，∴，由题可得平面，∴平面
是中点，是中点，∴且，
平面，∴，∴中， ，
∴∴ ．. …………12分
18．解：（1）由条件知点在圆上，所以，则…………………1分
当时，点为，，
此时切线方程为，即
当时，点为，，
此时切线方程为，即
所以所求的切线方程为或。………………………4分
（2）设到直线，的距离分别为，（，），
则于是
①，
当且仅当时取等号
即四边形面积的最大值为………………………8分
②，则

因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，所以
所以
即的最大值为………………………13分
19．解：（1）设椭圆的方程为，
由题意知：左焦点为，所以，
解得， ，
故椭圆的离心率为．………………………4分
（2）由（1）知椭圆的方程为
设，，
由：，，两式相减，得到

所以，即， …………………9分
同理，
所以，又因为直线的斜率之和为0，
所以 …………………………12分
20．（1）证明：在直角梯形中易求得……2分
∴ ，故,且折叠后与位置关系不变……4分
又 ∵ 面面,且面面
∴面………………6分
x
y
z
（2）解：∵ 在中，，为的中点
∴ 又∵ 面面,且面面
∴ 面, 故可以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则
易求得面的法向量为……8分
假设在上存在一点使平面与平面
所成角的余弦值为，且
∵ 故
又
∴
又 设面的法向量为
∴
令得……………………10分
∴
解得 …………………………12分
因此存在点且为线段上靠近点的三等分点时使得平面与平面 所成角的余弦值为. …………………………13分
21．（本小题满分13分）
（1）由题意知，，
即………………1分
又，………………2分
故椭圆的方程为 ………………4分
（2）设抛物线的方程为，直线与抛物线的切点为
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程，由相切得， 则直线的斜率为
则可得直线的方程为 ………………6分
直线过点 即
在第二象限
直线的方程为………………8分
代入椭圆方程整理得
设 则………10分
由，,
得

抛物线的标准方程为………………13分

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