平面向量知识点归纳.pdf

1平面向量平面向量一向量有关概念一向量有关概念：1向量的概念向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向不能说向量就是有向线段量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：如：2零向量零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的；03单位向量单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；ABuuu r|ABABuuu ruuu r4相等向量相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零规定零abab向量和任何向量平行向量和任何向量平行。提醒提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性平行向量无传递性！（因为有)；0r三点共线共线；ABC、AB ACuuu r uuu r、6相反向量相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如如aa下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）abrrabrr若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，ABDCuuu ruuu rABCDABCDABDCuuu ruuu r,ab bcrr rr则。（6）若，则。其中正确的是_（答：（4）（5）acrr/,/ab bcrr rr/acrr二向量的表示方法二向量的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；AB2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；abc3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内xyij的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标a,axiy jx yrrr,x yaa,x ya表示。如果向量的起点在原点向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理三平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数、，使 a=e1e2。如如1212（1 1）若，则_（答：）；(1,1),abrr(1,1),(1,2)c rc r1322abrr（2 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A.B.12(0,0),(1,2)eeu ru u r12(1,2),(5,7)ee u ru u r C.D.12(3,5),(6,10)eeu ru u r1213(2,3),(,)24eeu ru u r（答：B）；（3 3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示,AD BEuuu r uuu rABC,BC AC,ADa BEbuuu rr uuu rrBCuuu r,a br r为_（答：）；2433abrr（4 4）已知中，点在边上，且，则的值是_ABCDBCDBCD2ACsABrCDsr（答：0）四实数与向量的积四实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：aa当0 时，的方向与的方向相同，当0 时，的方向与的方向相反，1,2aarraaaa当0 时，注意注意：0。0arra2五平面向量的数量积五平面向量的数量积：1两个向量的夹角两个向量的夹角：对于非零向量，作，ab,OAa OBbuu u rr uuu rrAOB称为向量，的夹角，当0 时，同向，当时，反向，当时，0ababab2，垂直。ab2平面向量的数量积平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与ab|cosa brra的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是ba ba bcosa br r0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如如（1 1）已知，与的夹角为，则等于_11(1,),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrrcrdu r4k（答：1）；（2 2）已知，则等于_2,5,3aba b rrr rgabrr（答：）；23（3 3）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_,a br rababrrrr与aabrrr（答：）30o3在在上的投影上的投影为，它是一个实数，但不一定大于 0。如如ba|cosbr已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）3|a5|b12baab5124 4的几何意义的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。a ba ba|arba5向量数量积的性质向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：ab；0aba brrrr当，同向时，特别地，；当与反向时，aba ba br r222,aa aaaarrrrrrab；非零向量，夹角的计算公式：；。如如a ba br rabcosa ba brrr r|a ba brrrr（1 1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_)2,(a)2,3(bab（答：或且）；43 013六向量的运算六向量的运算：1几何运算几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即,ABa BCbuuu rr uuu rrACuuu rarbr；abABBCACrruuu ruuu ruuu r向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终,ABa ACbabABACCAuuu rr uuu rrrruuu ruuu ruu u r那么点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如如（1 1）化简：_；_；_ABBCCDuuu ruuu ruuu rABADDCuuu ruuu ruuu r()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ruuu r（答：；）；ADuuu rCBuu u r0r（2 2）若正方形的边长为 1，则_ABCD,ABa BCb ACcuuu rr uuu rr uuu rr|abcrrr（答：）；2 22坐标运算坐标运算：设，则：1122(,),(,)ax ybxyrr向量的加减法运算向量的加减法运算：，。如如12(abxxrr12)yy3（1 1）已知点，若，则当_时，点 P 在第一、(2,3),(5,4)AB(7,10)C()APABACRuuu ruuu ruuu r三象限的角平分线上（答：）；12（2 2）已知作用在点的三个力，则合力的终点(1,1)A123(3,4),(2,5),(3,1)FFFu u ruu ruu r123FFFFu ru u ruu ruu r坐标是 （答：（9,1）实数与向量的积实数与向量的积：。1111,ax yxyr若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线1122(,),(,)A x yB xy2121,ABxx yyuuu r段的终点坐标减去起点坐标。如如设，且，则 C、D 的坐标分别是_(2,3),(1,5)AB 13ACABuuu ruuu r3ADABuuu ruuu r（答：）；11(1,),(7,9)3平面向量数量积平面向量数量积：。如如1212a bx xy yrr已知向量（sinx，cosx）,（sinx，sinx）,（1，0）,若 x，求向量、的夹角；abc3ac向量的模向量的模：。如如222222|,|axyaaxyrrr已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_（答：）；,a br r60o|3|abu u rr13两点间的距离两点间的距离：若，则。1122,A x yB xy222121|ABxxyy七向量的运算律七向量的运算律：1交换律：，；abbarrrr aa rra bb arrrr2结合律：，；,abcabc abcabcrrrrrr rrrrrr aba babrrrrrr3分配律：，。,aaaababrrrrrrrabca cb c rrrrrrr如如下列命题中：；cabacba)(cbacba)()(2()ab2|a；若，则或；若则；22|abb0ba0a0b,a bc b r rr racrr22aarr；。其中正确的是_（答：）2a bbaar rrrr222()a babr rrr222()2abaa bbrrrr rr提醒：（提醒：（1 1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除切记两向量不能相除(相约相约)；（2 2）向量的）向量的“乘法乘法”不满足结合律不满足结合律，即，为什么？cbacba)()(八向量平行八向量平行(共线共线)的充要条件的充要条件：0。如如/ababrrrr22()(|)a ba br rrr1212x yy x(1)(1)若向量，当_时与共线且方向相同（答：2）；(,1),(4,)axbxrrxarbr（2 2）已知，且，则 x_（答：4）；(1,1),(4,)abxrr2uabrrr2vabrrr/uvrr（3 3）设，则 k_时，A,B,C 共线（答：2 或 11）(,12),(4,5),(10,)PAkPBPCkuu u ruu u ruuu r九向量垂直的充要条件九向量垂直的充要条件：.0|aba bababrrr rrrrr12120 x xy y如如(1)(1)已知，若，则 （答：）；(1,2),(3,)OAOBm uu u ruuu rOAOBuu u ruuu rm 32（2 2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，则点 B 的坐标是_ 90B（答：(1,3)或（3，1）；（3 3）已知向量，且，则的坐标是_（答：）(,),na brnmru rnmru rmu r(,)(,)bab a或