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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、,概念引入,二、,极限描述性定义,三、,“,函数值能变得无限趋近常数,A,”描述,四、,数列极限定义,五、,数列极限性质,第一章 数列极限,第二节 数列极限,第1页,正六边形面积,正十二边形面积,正 形面积,一、概念引入,1、割圆术：,第2页,二、数列极限描述性定义,例1,“,一尺之棰，日取其半，万世不竭,”,放大,庄子,天下篇,这12个字实际上给出了一种数列,第一项是1（一尺之棰）,从第二项开始每一项都是前一项二分之一（,日取其半,）.,第3页,数列项越来越小，它将,无限地,靠近于零，但永远不会等于零（,万世不竭,）。,将这个数列写出来就是,第4页,例2,数列,可以看到伴随n增大该数列无限靠近于1。,数列一般项 表达式为,第5页,例1,当,n,无限增大,时，,总结一下它们有何共同点？,它们共同点是:在自变量n无限增大过程中，对应数列值都无限靠近于一种常数A.,总之，我们看到,无限靠近,于0；,例2,当,n,无限增大,时，,无限靠近,于1；,第6页,假如数列 在自变量,n,无限增大过程中，,对应数列,值,a,n,无限趋近于,常数,A,，就称该数列在自变量,n,无限增大,时,以,A,为,极限,.,例1,当,n,无限增大时，,极限是0；,例2,当,n,无限增大时，,极限是1；,按照这种说法,数列极限刻画是数列值随自变量n变化最终止果还是变化最终趋势？,第7页,这种论述显然是不严格，仅仅是朴素语言描述.例如“无限趋近”是很模糊.,极限描述性定义,要给出数列极限严谨定义，关键是怎样用数学语言刻画自变量n无限增大过程中,对应数列值“无限趋近于”一种常数.,假如数列 在自变量,n,无限增大过程中，,对应数列,值,a,n,无限趋近于,常数,A,，就称该数列在自变量,n,无限增大,时,以,A,为,极限,.,第8页,三、“数列值,a,n,能变得无限趋近常数,A,”描述,用|an-A|不不小于0.1可以吗？不不小于0.01，0.001，0.000001等详细数可以吗？,不可以，这样体现不出“要多小就能有多小”，由于能不不小于一种详细数(例如0.000001),却不能说它还能不不小于更小数(例如0.00000001).,该怎样刻画呢？,可以用|an-A|大小来刻画an 与A靠近程度，,所谓an能变得无限靠近于A，可以用|an-A|能变得无限趋于零，或说能变得任意小、要多小就能有多小来描述。,第9页,只有阐明|an-A|可以不不小于任意给定正数，才能阐明这个距离能变得要多小有多小.,为此用 表示任意给定正数，,|,a,n,-,A,|,任意给定小正数,这样显然不是数学语言.,这样，就处理了刻画“数列值an能变得无限趋近于常数A”问题。,需要注意是，对任意给定小正数 ，并不是对自变量任意取值,n,都能使得 成立，,上式就能够表示为：,|,a,n,-,A,|9,)各项才能使 成立.,“某一程度之后”该怎样描述呢？,而是在自变量增大过程中，当变化到某一“程度”，从此之后所对应数列值an才能使这个不等式成立.,一样对于任意数列,a,n,也不是对自变量,n,全部取值都能使 成立，,第11页,对于数列来说，“某一程度之后”该怎样描述呢？,从数列 无限趋于0谈起.,四、数列极限定义,因为 ，,需要说明：,对任意给定 ，在,n,无限增大过程中，当,n,改变到某一,“程度”,之后，有 恒成立.,在,n,无限增大过程中，,用 nN 表达n变化到这个程度之后.,存在,“某一程度”,，,用,来表示,(这是因为,n,一直取正整数),，,下面我们来看，对于给定 ，怎样寻找这个“程度”,N,.,第12页,我们先从 详细取值来看：,对 ，可得到从第10项以后全部项与0距离 都小于0.1；,实际上，对于给定,要使,只需,于是，取“程度”N=10，用nN表达”从此之后”.,恒成立.,即存在,N,=10，当,n,N=,10时，,显然从第15项起也不不小于0.1。,这个,N,唯一吗？,从数列 无限趋于0谈起.,第13页,再如对于给定,要使,只需,于是，取“程度”,N,=100.,成立.,即存在,N,=100，使得当,n,N=,100时，,对 ，可得到从第100项以后全部项与0距离都小于0.01；显然从第110项开始也小于0.01.,第14页,任意给定,正数 ，能够找到一个正整数,N,当,n,N,时,恒,成立.,从图中我们可以直观看到,实际上，对于任意给定,要使,只需,成立.,即存在,使得当,n,N,时，,于是，取“程度”,这里,不取整行吗？,对任意给定正数,第15页,更一般地可以得到极限定义,数列 以0为极限,任给 ,总存在正整数,N,当,nN,时,恒成立.,总存在正整数,N,对数列 ,若存在常数,a,，,当,nN,时，恒成立,对任意给定,则称 以,a,为极限，,记作,或,总之,第16页,总存在正整数,N,对数列 ,若存在常数,a,，,当,nN,时,，,恒成立,对任意给定,则称 以,a,为极限,，,记作,或,定义（数列极限定义）,存在,任意给定,请注意这里,N,是不唯一.,N,观测下图，怎么理解数列极限几何意义？,任意给定 都存在一个,N,，当,n,N,时，,对应点,都落在以直线 为中心,宽为 带形区域里.,当,nN,时,恒,若不存在这么,a,则称数列 极限不存在,或数列 发散.,上面极限定义中，哪几种词是最关键？,怎样理解这个“恒”字呢？,第17页,例5,证实数列 以1为极限(例2),.,分析,根据定义，需要证明对于任意给定正数 ,存在N，,满足：当nN 时恒有,证明关键就在于找N.,证明,对于任意给定正数 ，,要使 ，,由,所以，只要 ，,即,为此取 ，,当,nN,时,就有 恒成立.,所以 .,为何可以放大？目是什么？,对,任意,给,定,正数 ，该怎样去,找,对应,N,呢？,第18页,分析,证明,例6,证实等比数列 当 时极限为0.,需要证明对于任意给定正数 ，存在N，,满足：当nN时恒有,证明关键就在于找N.,任给正数 ，怎样去,找,N,？,对任给,0，要使,则,因为 ，所以 ，,于是,为此，取,当,nN,时，就有 恒成立.,所以 .,两边取对数，得,通过这两个例子中找N措施，您有何体会？,第19页,证实假如 则,例7,证实关键还是怎样找对应,N,请自己完成这个证实，提醒：,反过来成立吗？,请举出反例。,第20页,1,、唯一性,四、数列极限性质,要证明这个“未知”，所能借助“已知”是什么?,定理1,假如数列 收敛，那么极限是唯一。,答：假如不唯一，那么至少有两个不一样样点作为极限，这两个点之间必有一种距离，它不也许同步无限趋近于两个有一定距离点。因此极限是唯一。,极限假如存在话，会不会存在两个或两个以上呢？即极限唯一吗？,a,b,定义,第21页,证明,设该数列同步以a,b(ab)为极限,不妨设a,N,1,时,根据极限定义，,因此存在正整数N2,当,n,N,2,时,令,N,=,max,(,N,1,N,2,),则nN时，同步有,和,矛盾，即极限假如存在，则必是唯一。,采用反证法.,由,又,即,与,同时成立,证明中找到了两个N，从中你有什么收获?,a,b,矛盾,第22页,2,、有界性,定理2,收敛数列必定有界,或者说数集,是有界.,那么我们不禁要问:“数列 有界吗？”,已知,按照上面分析，,有界;,请问有限集,有界吗？,有界吗？,我们发觉：对,任意,从,N,之后各项都满足,第23页,证明,由数列极限定义，对于给定,存在,N,也就是说该数列是有界.,不用1用别正数(例如用2或1/2)可以吗?,对于无穷多项,|a1|,|a2|,|aN|,能找到它一种界吗？,定理2,收敛数列必定有界,分析：,因为对于任意 ，都有,那么我们能够给 一个详细值，比如1.,取,当,n,N,时,此时,记,则对任意,n,，都有,第24页,存在正整数,N,，,当 时，,证明,对于给定,且,(参见定理1证实),有,及,即,存在正整数,N,，,当 时,a,b,若,且,b,a,能否比较,大小呢？,由数列极限定义，,当,n,N,时,请注意：并不是全部 都有这么大小关系.而是,当 时,推论,存在正整数,N,，,第25页,定理3,存在正整数,N,，,当 时,3,、保号性,假如数列 收敛于，而且从某项起恒有,那么,推论,a,b,第26页,a,1,4、有关子列性质,在数列 中抽出其全部奇数项,组成一个新数列,称为原数列 (奇),子数列,简称,奇子列,这个子数列第 项恰好是 中第 项,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,a,9,a,8,a,1,a,3,a,7,a,9,a,5,a,2,a,4,a,6,a,8,奇子列,偶子列,这个子数列第 项恰好是 中第 项,在数列 中抽出其全部偶数项,组成一个新数列,称为原数列 (偶),子数列,简称,偶子列,第27页,a,1,a,1,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,a,9,a,8,a,2,a,3,a,7,a,9,从中抽出无穷多项,并保持在本来数列中前后次序不变.,a,i,a,i+,1,a,j+,1,a,j,a,i,a,j+,1,从上面例子可以看到：,显然,一般地，设有数列：,就得到一个新数列,普通地，一个子列记作,第28页,定理5,假如数列,a,n,收敛于,a,，则它任何一个子列也收敛于,a,.,假如一种数列不一样样子数列收敛于不一样样值，那么该数列收敛吗？,数列子列和数列有下面关系：,答：该数列一定发散.由于假如该数列收敛，例如a，由定理5可知，它子列一定收敛于同一种值a.,第29页,这个定理最直接应用就是用来证明极限不存在.,例8,证实数列 发散.,证,该数列奇子数列为,显然极限是1.,该数列偶子数列为,显然极限是-1.,根据定理5，该数列是发散.,分析 只要能找到两个收敛于不一样样值子列就可以阐明该数列发散了.,注：一种数列某子列收敛不能保证原数列也收敛.,定理5,假如数列,a,n,收敛于,a,，则它任何一个子列也收敛于,a,.,第30页,数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;,收敛数列性质:,唯一性、有界性、保号性、子数列收敛性.,小 结,第31页,5,、四则运算,定理6,假如,则,1.证,任给,要使,由,存在,N,当,n,N,时,此时,所以,直接运用定义来计算极限是非常麻烦,在讨论了极限性质之后接下来我们研究极限四则运算.,显然我们目前所能应用“已知”有定义与性质.,怎样运用上面得到“已知”呢？,第32页,2.证,要使,因为,而,依据有界性,数列,b,n,有界,存在,M,恒有|,b,n,|,N,时,此时,所以,任给,怎样将它与,建立联络呢？,第33页,3.分析,任给,要使,而,依据乘积性质证实,只需证实 有上界即可.,请自己给出完整证明.,对于 ,存在,N,0,当,n,N,0,时，,所以 有上界.,为何,？,第34页,
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