第十一章逻辑代数初步.doc

11.1二进制及其转换
目标导航：
1．理解二进制计数法，了解数位和基数的概念，会进行二进制数与十进制数间的换算．
2．理解二进制数加法和乘法的运算规则，会进行简单的二进制数加法和乘法运算．
学习重点：
二进制的概念、二进制数与十进制数的相互换算．
学习难点：
二进制数与十进制数的相互换算
过程探究：
人们最常用、最熟悉的进位制是十进制. 十进制是用“0，1，2，3，4，5，6，7，8，9”十个数码符号（或叫数码）放到相应的位置来表示数，如3135．
数码符号在数中的位置叫做数位.计数制中,每个数位上可以使用的数码符号的个数叫做这个计数制的基数．十进制的每一个数位都可以使用十个数码符号（或叫数码），因此，十进制的基数为10．
每个数位所代表的数叫做位权数．十进制数的进位规则为“逢10进位1”．位权数如表11-1所示．
位置
整数部分
小数点
…
第3位
第2位
第1位
起点
位权数
…

表11-1
十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和．例如．
学时诊断：
将361200用各个数位的数码与其位权数乘积之和表示

在电路中，电子元件与电路都具有两种对立的状态．如电灯的“亮”与“不亮”，电路的“通”与“断”，信号的“有”和“无”．采用数码0和1表示相互对立的两种状态十分方便，因此，在数字电路中普遍采用二进制．
二进制的基数为2，每个数位只有两个不同的数码符号0和1．进位规则为“逢2进1”．各数位的位权数如表11-2所示．
位置
整数部分
小数点
…
第3位
第2位
第1位
起点

位权数
…

表11-2
例如，二进制数1100100的意义是
．
将这些数字计算出来，就把二进制数换算成了十进制数．
=100．
为区别不同进位制的数,通常用下标指明基数．如(100)2表示二进制中的数，(100)10表示十进制中的数．
由上面的计算知（1100100）2=（100）10．
【注意】
二进制数100与十进制数100表示的不是同一个数．
例1　将二进制数101换算为十进制数．
解 .
学时诊断：
将下列二进制数转换成十进制数：
（1） （2）

将十进制数换算为二进制数，其实质是把十进制数化成2的各次幂之和的形式，并且各次幂的系数只能取0和1．通常采用“除2取余法”．
具体方法是：不断用2去除要换算的十进制数，余数为1，则相应数位的数码为1；余数为0，则相应数位的数码为0．一直除到商数为零为止．然后按照从高位到低位的顺序写出换算的结果．
例2 将十进制数（97）10换算为二进制数．
读 数 方 向

所以（97）10==（1100001）2.
例3 将十进制数（84）10换算为二进制数．
读 数 方 向

所以（84）10=（1010100）2.
学时诊断：
将下列十进制数转换成二进制数：
（1） （2） （3）

精炼：

课时作业

11．2命题逻辑与条件判断
目标导航：
1． 理解命题逻辑的基本概念，能判断一些简单命题的真假
2． 理解几个常用的联结词的意义，并能判断一些条件的真假
学习重点：
几个常用联结词的意义及条件判断
学习难点：
几个常用联结词的意义
过程探究：
在日常生活中，我们经常听到这样一些话，例如，“现在的房价比十年前高”“今天是晴天”等等具有判断性的话，你还能举一些例子吗？数学中的命题逻辑就是研究判断的，我们首先从命题入手
问题1：什么是命题？
能够判断真假的语句叫做命题。
正确的命题称为真命题，并记它的值为“真”。
错误的命题称为假命题，并记它的值为“假”。
问题2：
下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它是真命题还是假命题。 （1）2>5。
（2）x+y=1。
（3）如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
（4）你吃过午饭了吗？
（5）火星上有生物。
（6）禁止吸烟！
（7）平行四边形的两组对边平行且相等。
（8）今天天气真好啊！
（9）在同一平面内的两条直线，或者平行，或者垂直。
解决：
（1）（3）（5）（7）（9）是命题，其中（3）（7）是真命题，（1）（9）是假命题，（5）到目前为止还无法确定真假，但就命题本身而言是有真有假的，之所以无法真假，是因为人类的认识水平还不够，（2）（4）（6）（8）是假命题。
我们通常用小写字母p,q,r等来表示命题。 
p：2>5 
q:如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
学时诊断：

问题3：上述两个命题，它们的值分别是真是假？
解决：命题是假命题，命题是真命题。
注：将一些简单命题要联结词联结，就构成复合命题
“非”
——设p是一个命题，则p的非（又称为否定）是一个新的命题。记作 ¬p
你能说出命题p与¬p的真假值关系吗？
表11-3

真

假

例1：写出下列命题的非命题，并判断其真假
（1）p：2+3=6。
（2）q：雪是白的。
（3）r：不存在最大的整数。
（4）p：2>3
解：（1）：，它是一个假命题
（2）雪不是白的，它是一个假命题
（3）：存在最大的整数，它是一个假命题
“且”
——设p，q是两个命题，则“p且q”是一个新命题。记作 ∧q
你能说出命题p与q的以及p∧q的真假值关系吗？并举例说明。
表11-4

真
真

真
假

假
真

假
假

例2：根据下列各组中的命题p和q，写出p∧q，并判断真假。
（1）p：雪是黑的； q：太阳从东方升起。
（2）p：8=3+4； q：3>4.
（3）p：60是3的倍数； q：60是5的倍数。
解：（1）：雪是黑的且太阳从东方升起，它是一个假命题
（2）：且，它是一个假命题
（3）：60是3 的倍数且是5的倍数，它是一个真命题
注：用“且”连接的命题真假判断时是：同真为真，有一假为假
“或”
——设p，q是两个命题，则“p或q”是一个新命题。记作 p∨q
值关系吗？并举例说明。
表11-5

真
真

真
假

假
真

假
假

例3：根据下列各组中的命题p和q，写出p∨q，并判断真假。
（1）p：雪是黑的； q：太阳从东方升起。
（2）p：8=3+4； q：3>4.
（3）p：60是3的倍数； q：60是5的倍数。
解：（1）：雪是黑的或太阳从东方升起，它是一个真命题
（2）：或，它是一个真命题
（3）：60是3 的倍数或是5的倍数，它是一个真命题
注：用“或”连接的命题真假判断时是：同假为假，有一真为真.
学时诊断:
1.指出下列命题是那些命题用怎样的逻辑连接而成的
(1)12既是4的倍数，又是6的倍数
(2)的解是或
(3)异面直线不相交
2.写出下列命题的和的形式,并判断其真假.
(1) p: 是无理数 q: 是实数
(2) p: 2>3 q:
(3) p: 是有理数 q: 是无理数
(4) p: 是上的增函数 q: 是上的减函数

拓展深化
问题4：某单位招工的基本条件是“笔试合格，从事相关工作2年以上”，符合基本条件的人就可以参加面试。如果用p表示“笔试合格”，命题q表示“从事相关工作两年以上”，那么参加面试的条件用复合命题如何表示？

问题5：评选优秀干部的条件是：每门科目成绩都合格，担任班干部或者团干部。如果用用p表示“每门科目成绩都合格”，用q表示“担任班干部”，用r表示“担任团干部”，那么评选优秀干部的条件用复合命题如何表示？

精炼:

课时作业
1.下列语句是命题的是 ( )
A.语文或数学 B.上课
C.你好吗? D.2×3=8
2.给出下列命题
(1) (2)圆周率是有理数
(3) 可以表示成且
(4)如果,则
(5)8是4的倍数且是偶数
其中正确的命题是 ( )
A.1个 B.两个 C.3个 D.4个
3.命题p:对任意,命题q: ,则下列3个命题“p且q”“p或q”“非p”真命题的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知p: ,q:3>2,则下列判断错误的是 ( )
A. p或q为真,非p为假
B. p或q为真,非p为真
C. p或q为真,非p为假
D. p且q为假, p或q为真
5.用符号“ ”中的两个填空
(1) x>2 或 x<-3 ________ (x-2)(x+3)>0
(2) a>b 且 c<0 ________ ac>bc
(3) ________ x>1
(4) a,b是两个向量,a= ()______
(5) _______|a|>|b|
(6) ________
6. 写出下列命题构成的 “p且q”“p或q”“非p”复合命题,并判断其真假.’
(1)6是自然数, 6是偶数;
(2) , ;
(3) 甲是动员, 甲是教练员
(4) 两直线平行,同位角相等, 两直线平行内错角相等
(5) 10能被2个整除,, 10能被5整除

7.判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”、“或”、“非”，若含有，请指出其中的、基本命题.
(1)菱形的对角线相互垂直平分;
(2)2是4和6的约数;
(3)不等式的解为或.

8.已知函数在上是单调递增,
函数大于零恒成立.
若为真, 为假,求的取值范围

11.3逻辑变量与基本运算
目标导航:
1.理解逻辑变量的概念及三种基本的逻辑运算．
2了解逻辑运算的优先次序．
学习重点:
1.逻辑变量的概念．
2.三种基本的逻辑运算．
学习难点:
逻辑变量的概念．
过程探究:
观察两个开关相并联的电路 (如图11-1)．将开关A、B与电灯S的状态列表如下（如表11－6：
图11-1

表11－6
开关A
开关B
电灯S
断开
断开
灭
断开
合上
亮
合上
断开
亮
合上
合上
亮
可以看到，电灯S是否亮，取决于开关A、B的状态，它们之间具有因果逻辑关系．逻辑代数研究的就是这种逻辑关系．开关A、B与电灯S的状态都是逻辑变量，用大写字母A，B，C，…表示．
逻辑变量只能取值0和1．需要说明的是，这里的值“0”和“1”，不是数学中通常表示数学概念的0和1，而是表示两种对立的逻辑状态，称为逻辑常量．在具体问题中，可以一种状态为“0”，与它相反的状态为“1”．
规定开关“合上”为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯灭”为“0”，则表11－6可以写成表11－7．
表11-7
A
B
S
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
在开关相并联的电路（如图11－1）中，开关A与开关B至少有一个“合上”时，电灯S就“亮”．我们将这种逻辑关系叫做变量A与变量B的逻辑加法运算(“或”运算)，并把S叫做A、B的逻辑和，记作A+B=S（或A∨B=S）．其运算规则如表11－7所示．
表11－7
A
B
A+ B = S
0
0
0+0=0
0
1
0+1=1
1
0
1+0=1
1
1
1+1=1
其中，“1+1=1，1+0=1，0+1=1，0+0=0”是或运算的运算法则.
例1,写出下列各式的运算结果
(1 )1+0+0 (2)1+0+1 (3)0+(1+1+0)
解:(1)1+0+0=1+0=1
(2)1+0+1=1+1=1
(3)0+(1+1+0)=0+(1+0)=0+1=1
学时诊断:
写出下列各式的运算结果
(1)(1+0+1)+0+1 (2)0+0+1 (3)0+0 (4)0+0+0+0

观察两个开关相串联的电路（如图4-2），当开关A和开关B同时合上时，电灯Ｐ才会亮．
图11-2

我们把这种逻辑关系叫做变量A与变量B的逻辑乘法运算(“与”运算)，并把P叫做A、B的逻辑积，记作A·B=P（或A∧B=P），简记为AB=P．其运算规则如表11－8所示．
表11－8
A
B
A·B=P
0
0
0·0=0
0
1
0·1=0
1
0
1·0=0
1
1
1·1=1
其中“1,,,”是与运算的运算法则.
例2写出下列各式的运算结果
(1)(2)
解(1)
(2)
学时诊断:
写出下列各式的运算结果
(1) (2) (3)()

观察开关与电灯相并联的电路（如图11-3）．当开关A合上时，电灯灭；当开关A断开时，电灯亮．
图11－3

我们把这种逻辑关系叫做变量A的逻辑非运算，并把D叫做A的逻辑非，记作．其运算规则如表11－9所示．
表11－9
A
=D
0

1

【注意】
这里的意思是“非0”，既然不为0，那么只能是1.同样，的意思是“非1”，只能是0.
学时诊断:
1.填表：
A
B

A+B
A·B
0
0

0
1

1
0

1
1

2.填表：
A
B

AB
AB+=D
0
0

0
1

1
0

1
1

精炼:

课时作业

11.4逻辑式与真值表
目标导航:
1. 理解逻辑式及真值表的概念
2. 能够进行逻辑式与真值表互化
3. 了解等值逻辑式的含义,能够用真值现场采访验证等值逻辑式
学习重点:
逻辑式的运算及逻辑式对应的真值表
学习难点:
逻辑式与真值表的互化
过程探究:
由常量1、0以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子叫做逻辑代数式，简称逻辑式．例如
A+B，AB，AB+ ，A，1，0
等都是逻辑式．这里我们把表示常量的1和0及单个变量都看作是逻辑式．
逻辑运算的优先次序依次为“非运算”，“乘运算”，“加运算”．比如D=B+C的运算顺序应为：先计算，再计算B，最后计算B+C．对于添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的运算．
例1.

学时诊断:

逻辑代数式与普通代数式有什么异同？
将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式，经过运算，可以得到逻辑式的一个值（0或1）．例如
当A = B = 0时，有

当A = 0，B = 1时，有

列出A,B的一切可能取值与相应的逻辑式值的表，叫做逻辑式的真值表．
例如，表11－10就是 的真值表．
表11－10
A
B

0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
注:
真值表必须列出逻辑变量所有可能取值所对应的函数值．两个逻辑变量有种可能取值，三个逻辑变量有种可能取值，…，n个逻辑变量有种可能取值．
如果对于变量A、B、C的任何一组取值，两个逻辑式的值都相同，这样的两个逻辑式叫做等值逻辑式，等值逻辑式可用等号“=”连接，并称为等式，如(A+B)C=AC+BC．需要注意，这种相等是状态的相同．
例2用真值表验证下列等式：
(1)
(2)
分析 真值表的行数取决于逻辑变量的个数，题目中有两个逻辑变量，真值表有四行．
解（1）列出真值表：
A
B
A+B

0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
可以看出对于逻辑变量的任何一组值，与的值都相同，所以
（2）列出真值表
A
B

A+B

0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
可以看出对于逻辑变量的任何一组值，与的值都相同，所以
例3　如图4-4所示，开关电路中的灯D的状态，能否用开关A，B，C的逻辑运算来表示？试给出结果．
图11－4

分析 这个电路是开关A，B，C相并联的电路，三个开关中至少有一个“合上”时，电灯D就亮，所以使用逻辑加法．
解 D=A+B+C ．
学时诊断:
用真值表验证等式.

精炼:

课时作业

11.5逻辑运算律
目标导航:
1. 了解逻辑运算的运算律
2. 能能利用真值表验证运算律的正确性,利用运算律化简逻辑式
学习重点:
逻辑运算的运算律
学习难点:
用运算律化简逻辑式
过程探究:
问题:
根据常量的基本运算,不论逻辑变量A取1或0,你能得出下列各式的结果吗?
(1) (2)
(3) (4)
解决:
(1)
(2)
(3) =A
(4)
普通代数有加、减、乘、除、乘法、开方等多种运算，但是逻辑运算只有三种基本运算．与普通代数相类似，逻辑代数也有许多运算律．现将常用的运算定律列表如下：
（1） 基本的“逻辑加”、“逻辑乘”、“逻辑非”运算定律（如表11-11所示）
表11-11
序号
运算律
序号
运算律
序号
运算律
（1）

（4）

（7）

（2）

（5）

（8）

（3）

（6）

（9）

（2） 其他运算定律（如表11-12）
表11-12
名称
序号
运算律

交换律
（1）
A+B=B+A
（2）
A·B=B·A
结合律
（3）
A+(B+C)=(A+B)+C
（4）
A· (B·C)=(A·B) ·C
分配律
（5）

（6）

吸收率
（7）
A+AB=A
（8）
A(A+B)=A
反演律
（9）

（10）

上述运算律可以通过真值表进行验证．利用这些运算律可以化简逻辑式．化简逻辑式一般要完成下面几个步骤：（1）将被加项中的括号去掉；（2）使被加项的项数最少；（3）基本逻辑变量出现的次数最少．
例1 化简：（1）； (2)
解　（1） （反演律）
　　 （结合律）
； （基本运算律7）
(2) （反演律）
（反演律）
（基本运算律4）
． （基本运算律5）
例2.

学时诊断:

精炼:

课时作业

11.6逻辑函数的卡诺图化简法
目标导航:
1.理解逻辑函数最小项表达式的概念及获得函数的最小项表达式的方法．
2,理解卡诺图的概念．能根据给定的逻辑函数,画出对应的卡诺图
3.能根据给定的卡诺图化简对应的逻辑函数
学习重点:
逻辑函数的最小项及最小项的编号,获得逻辑函数最小表达式的方法
学习难点:
对最小项进行编号,将一个逻辑函数写成最小项的表达式
过程探究:

由三个逻辑变量，可以构成许多乘积项．其中有一类项具有如下的特征：
（1）每一项只有3个因子，而且包含了全部的三个变量；
（2）每个变量作为因子在各项中只出现一次．
具备这两个特征的项叫做这三个逻辑变量的逻辑函数的最小项．
三个逻辑变量A、B、C的逻辑函数的最小项有8个．将逻辑变量A、B、C都赋值1；逻辑变量都赋值0．将赋值后对应项的值，作为二进制数换算成为十进制数，作为该项的下标．列表如下（如表11-13）：
表11-13
最小项

赋值

最小项的编号

000

001

010

011

100

101

110

111

一般地， n个逻辑变量，可以构成个最小项．利用真值表可以验证，最小项具有下面的性质（以三个自变量为例）：
(1)所有的最小项相加，其和为1．即
(2)任意两个最小项的积都是0.如

(3)只有一个因子不同的两个最小项，叫做逻辑相邻的最小项．可以消去一个因子，合并成一项．例如 ．
(4)任意一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和形式，叫做最小项表达式（“与−或”表达式）．例如
为了获得函数的最小项表达式，首先要将逻辑函数展开成“逻辑和”与“逻辑积”的形式（“与−或”表达式），然后将因子不足的项进行配项补足．
例1 将逻辑函数 表示为最小项表达式．
解
．
学时诊断:
1.将逻辑函数表示为最小项表达式．

2. 将下列各逻辑函数表达式表示为最小项表达式：
（1） (2) (3)

利用运算律来化简逻辑函数表达式，需要一系列的推导，一般是比较复杂的．实际中，这种化简过程可以利用“卡诺图”来完成．
卡诺图是一张表，除了直接相邻的两个格称为相邻外，表中最左边一行的小方格与最右边一行的对应方格也称为相邻，最上面一行的小方格与最下面一行的对应方格也称为相邻的．就像我们把画有表格的纸卷成筒一样．
将逻辑函数每个最小项用一个小方格表示，再将这些小方格进行排序，使得相邻的小方格中的最小项在逻辑上也是相邻的，这样的图形叫做卡诺图．
下面是两个逻辑变量的卡诺图（如图11−5）：
图41111111−7

为了清楚地看出卡诺图与逻辑函数表达式之间的关系，我们将卡诺图画成下面的形式（图11−6）：

B
B

A
0
1

0

A
1

三个逻辑变量的卡诺图为（如图11-7）：
如图11-7
BC
A

00
01
11
10

0

A
1

k个逻辑变量的卡诺图，要画出个方格．每个方格与一个最小项相对应，方格的编号与最小项的编号相同.
学时诊断:
画出下列各逻辑函数的卡诺图：
（1） ； （2）

例2 作出逻辑函数的卡诺图表示
分析 首先将逻辑函数用最小项表达式表示，然后画出卡诺图．
解

．
在三个逻辑变量的卡诺图中，将m4、m6、m2对应的小方格中填入“1”，其余位置填入“0”（如图），得到已知函数卡诺图．
BC
A

00
01
11
10

0
0
0
0
1
A
1
1
0
0
1

注:
给出逻辑函数的最小项表达式，可以画出卡诺图，反过来，给出逻辑函数的卡诺图，可以写出逻辑函数的最小项表达式．方法是，将填1的方格对应的最小项写出来，然后将各项相加．
例3 根据下面的卡诺图（如图11-9）写出函数的最小项表达式．
BC
A

00
01
11
10

0
0
1
0
1
A
1
0
0
1
0
图11-9
解 函数的最小项表达式为.
学时诊断:
1　画出下列函数的卡诺图：
（1）；（2）．
2　根据下面的卡诺图写出函数的最小项表达式．
BC
A

00
01
11
10

0
1
0
0
1
A
1
0
1
1
0

由于卡诺图相邻的两个方格内，对应的是逻辑相邻的最小项，可以合并成一项，并消去以相反状态出现的1个变量（因子）；相邻的四个最小项，可以消去2个变量；相邻的八个最小项，可以消去3个变量．
例4　逻辑函数的卡诺图表示为

BC
A

00
01
11
10

0
0
1
1
1
A
1
0
1
0
0

图11-10
写出化简后的逻辑函数表达式．
解　将相邻的1圈起来．观察左边的圈，无论A的取值如何，只要BC为01，结果就为1；观察右边的圈，无论C的取值如何，只要AC为01，结果就为1.所以，化简后的逻辑函数表达式为
“圈1”时需要注意：
（1）圈内的相邻项，只能为2项、4项或8项，并且圈的个数尽量少；
（2）有些方格可能多次被圈，但是每个圈内的方格，不能都是其他圈所圈过的．
利用卡诺图化简逻辑函数表达式的基本步骤是：
（1）将表达式用最小项的和表示；（2）画出函数的卡诺图；（3）在卡诺图中“圈1”
（4）消去各圈中以相反状态出现的变量 （5）写出化简后的逻辑函数表达式．
例5　化简
解
．
对应的卡诺图（如图11-11）为

00
01
11
10
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0

观察上面的圈，无论B和C取值如何，只要A取0，结果就为1；观察中间的圈，无论B和A的取值如何，只要C取1，结果就为1．因此， ．
学时诊断:
化简．

精炼:

课时作业