2019高考数学(理)(全国通用版)大一轮复习检测-第五篇-数列(必修5)-第1节-数列的概念与简单.doc

第五篇　数列(必修5)
第1节　数列的概念与简单表示法

【选题明细表】
知识点、方法
题号
观察法求通项公式
1,7
递推公式的应用
2,3,5,6,11
an与Sn的关系
8,10
数列的单调性、最值
4
综合问题
9,12,13,14
基础对点练(时间:30分钟)
1.(2016·宜春校级模拟)已知数列,,,,,…,则5是它的(　C　)
(A)第19项 (B)第20项 (C)第21项 (D)第22项
解析:数列,,,,,…,中的各项可变形为:
,,,,,…,
所以通项公式为an==,
令=5,得n=21.
2.数列{an}的前n项积为n2,那么当n≥2时,an等于(　D　)
(A)2n-1 (B)n2
(C) (D)
解析:设数列{an}的前n项积为Tn,
则Tn=n2,当n≥2时,an==.故选D.
3.(2016·河南许昌质检)若数列{an}中,a1=1,an+1=,则数列{an}的第4项是(　C　)
(A) (B) (C) (D)
解析:因为a1=1,an+1=,
所以a2===,
a3===,
a4===.故选C.
4.(2016·吉林模拟)已知数列{an},an=-2n2+λn,若该数列是递减数列,则实数λ的取值范围是(　A　)
(A)(-∞,6) (B)(-∞,4]
(C)(-∞,5] (D)(-∞,3]
解析:数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数,若数列是递减数列,
则-<,即λ<6.故选A.
5.(2016·安徽皖江名校联考)已知数列{an}的首项为2,且数列{an}满足an+1=,数列{an}的前n项的和为Sn,则S2 016为(　C　)
(A)504 (B)588
(C)-588 (D)-504
解析:因为a1=2,an+1=,
所以a2=,a3=-,a4=-3,a5=2,…,
所以数列{an}的周期为4,且a1+a2+a3+a4=-,
因为2 016÷4=504,
所以S2 016=504×(-)=-588.故选C.
6.(2016·泰安模拟)已知数列{an}满足a1>0,且an+1=an,则数列{an}的最大项是(　A　)
(A)a1 (B)a9
(C)a10 (D)不存在
解析:因为a1>0且an+1=an,
所以an>0,=<1,所以an+1<an,
所以此数列为递减数列,故最大项为a1.故选A.
7.在数列-1,0,,,…,,…中,0.08是它的第　　　　项. 
解析:令=0.08,得2n2-25n+50=0,
即(2n-5)(n-10)=0.解得n=10或n=(舍去).
答案:10
8.已知数列{an}的前n项和Sn=3-3×2n,n∈N*,则an=　　　　. 
解析:分情况讨论:
①当n=1时,a1=S1=3-3×21=-3;
②当n≥2时,an=Sn-Sn-1
=(3-3×2n)-(3-3×2n-1)=-3×2n-1.
综合①②,得an=-3×2n-1.
答案:-3×2n-1
9.导学号 18702244设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,=2Sn+1,n∈N*,则a1=　　　　,S5=　　　　. 
解析:a1+a2=4,a2=2a1+1⇒a1=1,a2=3,
再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2)⇒an+1-an=2an⇒an+1=3an(n≥2),
又a2=3a1,
所以an+1=3an(n≥1),S5==121.
答案:1　121
10.(2016·六盘水模拟)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3;
由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,
解得a3=(a1+a2)=6.
(2)由题设知a1=1.
当n>1时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得
=.
于是=,=,
…
=,=,
又a1=1,
将以上n个等式两端分别相乘,整理得
an=.
综上可知,数列{an}的通项公式an=.
能力提升练(时间:15分钟)
11.(2016·山东临沂模拟)已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a2 016等于(　C　)
(A)-3 (B)0
(C) (D)3
解析:由题意知a1=0,a2==-,a3==,a4==0,a5==-,…,由此可知,an+3=an.
又2 016=3×671+3,
所以a2 016=a3=.故选C.
12.(2016·邯郸一中模拟)已知数列{an}满足a1=60,an+1-an=2n(n∈N*),则的最小值为　　　　. 
解析:因为an+1-an=2n,
所以当n≥2时有an-an-1=2(n-1),
an-1-an-2=2(n-2),
…
a3-a2=2×2=4,
a2-a1=2×1=2,
又a1=60,
累加得an=60+2+4+…+2(n-1)
=n(n-1)+60=n2-n+60,
所以==n+-1,
令f(x)=x+(x>0),
由函数性质可知,在区间(0,2)上单调递减,
在区间(2,+∞)上单调递增,
又n为正整数,
当n=7时,=7+-1=,
当n=8时,=8+-1=,
又<,
所以的最小值为.
答案:
13.导学号 18702246已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
(1)证明:数列{}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式an.
(1)证明:因为a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).
所以设bn=,则b1==2.
bn+1-bn=-
=[(an+1-2an)+1]
=[(2n+1-1)+1]
=1,
由此可知,数列{}为首项是2,公差是1的等差数列.
(2)解:由(1)知,=2+(n-1)×1=n+1,
an=(n+1)·2n+1.
14.(2016·福建基地综合)已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=log2 ,n∈N*,设数列{bn}的前n项和为Tn,当n为何值时,Tn有最大值?并求最大值.
解:(1)由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3),
即an=an-1+2n-1(n≥3),
所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2
=2n-1+2n-2+…+22+5
=2n-1+2n-2+…+22+2+1+2
=2n+1(n≥3),
经检验,知n=1,2时,结论也成立,
故an=2n+1.
(2)bn=log2 =log2 =log2 28-2n=8-2n,n∈N*,
当1≤n≤3时,bn=8-2n>0;
当n=4时,bn=8-2n=0;
当n≥5时,bn=8-2n<0.
故n=3或n=4时,Tn有最大值,且最大值为T3=T4=12.
好题天天练
1.导学号 18702247已知数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,则数列{an}的通项公式为(　B　)
(A)an=2n+1 (B)an=
(C)an=2n (D)an=2n+2
解析:由a1+a2+a3+…+an=2n+5,
得a1+a2+a3+…+an-1=2(n-1)+5(n≥2),
两式相减得=2n+5-2(n-1)-5=2,
所以an=2n+1(n≥2,n∈N*),
又当n=1时,=7,
所以a1=14.
综上可知,an=
2.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=　　　　. 
解题关键:证明{an}为等比数列.
解析:当n=1时,a1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,
故=-2,
故an=(-2)n-1,
当n=1时,也符合an=(-2)n-1,
综上,an=(-2)n-1.
答案:(-2)n-1