高考数学讲义5.3平面向量的数量积.doc

§5.3　平面向量的数量积
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考情考向分析
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.

1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
2．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝ .
知识拓展
1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．
2．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　√　)
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　)
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　)
(4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　)
(5)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P105例4]已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________.
答案　12
解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，
由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，
∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
3．[P106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．
答案　－2
解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.
题组三　易错自纠
4．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于________．
答案　
解析　a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，
所以a·b＝－1×＋2×1＝.
5．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为________．
答案　
解析　＝(2,1)，＝(5,5)，
由定义知，在方向上的投影为
＝＝.
6．已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________.
答案　－
解析　∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，
∴a·b＋b·c＋a·c＝－.

题型一　平面向量数量积的运算
1．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·等于(　　)
A．20 B. 15 C．9 D．6
答案　C
解析　＝＋，
＝－＝－＋，
∴·＝(4＋3)·(4－3)
＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9，
故选C.
2.如图，已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)

A．－ B.
C. D.
答案　B
解析　由条件可知
＝－，
＝＋＝＋
＝＋，
所以·＝(－)·
＝2－·－2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形，
所以||＝||＝1，∠BAC＝60°，
所以·＝－－＝.
思维升华 平面向量数量积的三种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．

题型二　平面向量数量积的应用

命题点1　求向量的模
典例 (1)(2017·湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于(　　)
A．13＋6 B．2
C. D.
答案　D
解析　依题意得|a|＝，a·b＝×2×cos 45°＝2，
∴|3a＋b|＝＝
＝＝，
故选D.
(2)(2017·衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为________．
答案　5
解析　建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5,3b－4y)．
所以|＋3|
＝(0≤y≤b)．
当y＝b时，|＋3|min＝5.
命题点2　求向量的夹角
典例 (1)(2017·山西四校联考)已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为______．
答案　
解析　∵(2a－b)·(a＋b)＝6，∴2a2＋a·b－b2＝6，
又|a|＝2，|b|＝1，∴a·b＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
(2)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案　D
解析　因为a＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m,2m)＋(4,2)＝(m＋4,2m＋2)．根据题意可得＝，所以＝，解得m＝2.
思维升华 (1)求解平面向量模的方法
①写出有关向量的坐标，利用公式|a|＝即可．
②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|＝.
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，注意θ的取值范围为[0，π]．
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝ .
③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．
跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
解析　方法一
|a＋2b|＝
＝
＝
＝＝2.
方法二　(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.
(2)(2017·山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
答案　
解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝＝＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.
题型三　平面向量与三角函数
典例 (2017·广州海珠区摸底)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.
(1)求sin A的值；
(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
解　(1)由m·n＝－，
得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，
所以cos A＝－.
因为0<A<π，
所以sin A＝＝ ＝.
(2)由正弦定理，得＝，
则sin B＝＝＝，
因为a>b，所以A>B，则B＝，
由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1.
故向量在方向上的投影为
||cos B＝ccos B＝1×＝.
思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
跟踪训练 在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sin x，cos x)，x∈.
(1)若m⊥n，求tan x的值；
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
解　(1)因为m＝，n＝(sin x，cos x)，m⊥n.
所以m·n＝0，即sin x－cos x＝0，
所以sin x＝cos x，所以tan x＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
即sin x－cos x＝，所以sin＝，
因为0<x<，所以－<x－<，
所以x－＝，即x＝.

利用数量积求向量夹角
典例 已知直线y＝2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(－1,1)，B(3,3)．求使向量与夹角为钝角的充要条件．
错解展示：

现场纠错
解　错解中，cos θ<0包含了θ＝π，
即，反向的情况，此时a＝1，
故，夹角为钝角的充要条件是0<a<2且a≠1.
纠错心得　利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况.

1．(2017·全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
答案　A
解析　方法一　∵|a＋b|＝|a－b|，
∴|a＋b|2＝|a－b|2.
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.
∴a·b＝0.∴a⊥b.
故选A.
方法二　利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
故选A.
2．(2017·河北唐山一模)已知向量a，b满足a·(a－b)＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由a·(a－b)＝2，得a2－a·b＝2，
即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－2cos〈a，b〉＝2.
所以cos〈a，b〉＝－，所以〈a，b〉＝，故选D.
3．(2017·豫南九校联考)已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于(　　)
A．－ B．1
C．2 D.
答案　B
解析　∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，
a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，
|2a－b|＝5，∴＝＝1，故选B.
4．(2018·乐山质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　D
解析　在△ABC中，cos∠BAC＝
＝＝，
∴·＝||||cos∠BAC＝3×2×＝.
5．(2017·沈阳质检)在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由|＋|＝|－|，化简得·＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，
所以＝，＝，
所以·＝×＋×＝.
6．(2017·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案　C
解析　因为(－)·(＋－2)＝0，
即·(＋)＝0，因为－＝，
所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，
所以△ABC是等腰三角形，故选C.
7．(2017·全国Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.
答案　7
解析　∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
8．(2018·银川质检)已知向量a，b的夹角为，|a|＝，|b|＝2，则a·(a－2b)＝________.
答案　6
解析　a·(a－2b)＝a2－2a·b
＝2－2××2×＝6.
9．(2017·河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－b|＝3|a|，则a与b的夹角为________．
答案　90°
解析　由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，得4a2＝b2，
由|a－b|＝3|a|，得a2－2a·b＋2b2＝9a2，
则a·b＝0，即a⊥b，∴a与b的夹角为90°.
10．(2017·巢湖质检)已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________．
答案　∪∪
解析　a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则解得λ<－或0<λ<或λ>，所以λ的取值范围是
∪∪.
11．(2018·贵阳质检)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解　(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6，
所以cos θ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，
所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||·sin∠ABC
＝×4×3×＝3.
12．(2017·江苏)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
解　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，
故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)
＝3cos x－sin x
＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤，
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.

13．(2018·长沙质检)已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果＋＋＝0，且||＝||，则向量在方向上的投影为________．
答案　－6
解析　由＋＋＝0，得＝＋.
∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.
连接OF，∵||＝||＝||＝4，
∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°，
∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin 60°×2＝4.
∴向量在方向上的投影为||·cos〈，〉＝4cos 150°＝－6.
14．(2017·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．
答案　
解析　

不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，
线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．
设M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题意可知0<a<1)，
∴＝(a,2－a)，＝(a＋1,1－a)，
∴·＝a(a＋1)＋(2－a)(1－a)
＝2a2－2a＋2＝22＋，
∵0<a<1，
∴由二次函数的知识可得·∈.

15．(2018·湖北黄冈二模)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值与最小值的和为(　　)
A．0 B.
C. D.
答案　D
解析　∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，
即a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝，a与b的夹角为60°.
设＝a，＝b，＝c，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝，b＝(1,0)．
设c＝(x，y)，则c－2a＝(x－1，y－)，
c－b＝(x－1，y)．
又∵(c－2a)·(c－b)＝0，
∴(x－1)2＋y(y－)＝0.
即(x－1)2＋2＝，
∴点C的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆．
又|c|＝表示圆M上的点与原点O(0,0)之间的距离，所以|c|max＝|OM|＋，|c|min＝|OM|－，
∴|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2×＝，
故选D.
16．(2017·河北衡水模拟)已知在△ABC所在平面内有两点P，Q，满足＋＝0，＋＋＝，若||＝4，||＝2，S△APQ＝，则·的值为______．
答案　±4
解析　由＋＝0知，P是AC的中点，由＋＋＝，可得＋＝－，即＋＝，即＝2，
∴Q是AB边靠近B的三等分点，
∴S△APQ＝××S△ABC＝S△ABC，
∴S△ABC＝3S△APQ＝3×＝2.
∵S△ABC＝||||sin A＝×4×2×sin A＝2，
∴sin A＝，∴cos A＝±，
∴·＝||||·cos A＝±4.