椭圆知识点及经典例题汇总.doc

椭圆知识点
知识要点小结：
知识点一：椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　　若，则动点的轨迹无图形.
知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中
2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
3.椭圆的参数方程
注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，
知识点三：椭圆的简单几何性质
　　椭圆：的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围：
椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ，，，　　
③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。
　　②因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。

注意：　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；；；
l ；；；
（3）；；；
知识点四：椭圆第二定义
一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率
左准线 右准线

知识点五：椭圆的焦半径公式：
（左焦半径） （右焦半径） 其中是离心率
焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式：
（ 其中分别是椭圆的下上焦点）

知识点六：直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则
弦长

知识点七：椭圆 与 的区别和联系
标准方程

图形

性质
焦点
，
，
焦距

范围
，
，
对称性
关于轴、轴和原点对称
顶点
，
，
轴长
长轴长=，短轴长=
离心率

准线方程

焦半径
，
，
注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。

规律方法：
1．如何确定椭圆的标准方程？
　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义
　　椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。
可借助右图理解记忆： 　 　
　　显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。
3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
4．方程是表示椭圆的条件
方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。
5．求椭圆标准方程的常用方法：
　　①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
　　②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。
6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。
7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：
① 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
② 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；
③ 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称。
8．如何求解与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？
思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。
将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系.
9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。
显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。

经典例题：
一、椭圆的定义
例1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )
A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线
例2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则⊿CDF2的周长为______
二、椭圆的标准方程
例3、已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( )
A -1<k<1 B k>0 C k≥0 D k>1或k<-1
例4、已知方程+=1，表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为 .

例5、求满足以下条件的椭圆的标准方程
(1)长轴长为10，短轴长为6
(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)
(3) 经过点(5，1)，(3，2)

例6、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，求⊿ABC的重心G的轨迹方程。

例7、 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．

例8、已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

三、离心率
例9、椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________

例10、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为______

例11、椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．

四、最值问题
例12、椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____
例14、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值和最小值。

六、直线和椭圆
例16、已知直线l:y=2x+m，椭圆C：，试问当m为何值时：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.

例17、已知斜率为1的直线l经过椭圆的右焦点，交椭圆于A、B两点，求弦AB的长.

例18、已知椭圆及直线．
（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

例19、已知椭圆C：，直线l:y=kx+1,与C交于AB两点，k为何值时，OA⊥OB

例20、 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，
求线段中点的轨迹方程．

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