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线性回归方程同步练习题（文科）
1．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得xi＝52，yi＝228，x＝478，xiyi＝1849，则其线性回归方程为(　A　)
A.＝11.47＋2.62x B.＝－11.47＋2.62x C.＝2.62＋11.47x D.＝11.47－2.62x
解析　利用回归系数公式计算可得a＝11.47，b＝2.62，故＝11.47＋2.62x.
2.已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y对x的线性回归方程y＝bx＋a必过点(　D　)．
A. (2,2) B. (1.5,3.5) C. (1,2) D. (1.5,4)
3. 设回归直线方程为y＝2－1.5x，若变量x增加1个单位，则(　C　)．
A. y平均增加1.5个单位 B. y平均增加2个单位
C. y平均减少1.5个单位 D. y平均减少2个单位
4.已知回归方程为=0.50x-0.81,则x=25时，的估计值为 .答案 11.69
5．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－0.7x＋a，则a等于______．
解析　＝2.5，＝3.5，∵回归直线方程过定点(，)，∴3.5＝－0.7×2.5＋a.∴a＝5.25.
6．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：

月平均气温x(℃)
17
13
8
2
月销售量y(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程＝bx＋a中的b≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．
答案　46解析　由所提供数据可计算得出＝10，＝38，又b≈－2代入公式a＝－b 可得a＝58，即线性回归方程＝－2x＋58，将x＝6代入可得．
7．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y（kg）依身高x（cm）的回归方程为y=0.72x-58.5。张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 69.66 kg左右。
8.观察下列散点图，则①正相关；②负相关；③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺序是 .

答案 a,c,b
9.三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是 .答案 =1.75x+5.75
10.已知关于某设备的使用年限x与所支出的维修费用y(万元），有如下统计资料：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若y对x呈线性相关关系，则回归直线方程=x+表示的直线一定过定点 .答案 （4，5）
11．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 ＝－0.7x＋a，则a＝___5.25_____.
12．如图所示，有5组(x，y)数据，去掉__ D ____组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．

三、解答题
1．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少小时？
解析　(1)散点图如图．

(2)由表中数据得：xiyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，x＝54，∴b＝0.7，　∴a＝1.05，

∴＝0.7x＋1.05.回归直线如图所示．(3)将x＝10代入回归直线方程，得＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时 )．∴预测加工10个零件需要8.05小时．
2.随着我国经济的快速发展，城乡居民的生活水平不断提高，为研究某市家庭平均收入与月平均生活支出的关系，该市统计部门随机调查了10个家庭，得数据如下：
家庭编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi（收入）千元
0.8
1.1
1.3
1.5
1.5
1.8
2.0
2.2
2.4
2.8
yi（支出）千元
0.7
1.0
1.2
1.0
1.3
1.5
1.3
1.7
2.0
2.5
（1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2）若二者线性相关，求回归直线方程.
解 （1）作出散点图：
5分
观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系. 7分
（2）= (0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,
=（0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5）=1.42， 9分
=≈0.813 6，=1.42-1.74×0.813 6≈0.004 3， 13分
∴回归方程=0.813 6x+0.004 3. 14分
3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相应的生产能耗y（吨）标准煤的几组对照数据.

x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)
解 （1）散点图如下图:

（2）==4.5,==3.5
=3×2.5+4×3+4×5+6×4.5=66.5.
=32+42+52+62=86.∴===0.7
=-=3.5-0.7×4.5=0.35.∴所求的线性回归方程为=0.7x+0.35.
（3）现在生产100吨甲产品用煤y=0.7×100+0.35=70.35，∴降低90-70.35=19.65(吨)标准煤.
4.在研究硝酸钠的可溶性程度时，对于不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：

温度(x)
0
10
20
50
70
溶解度（y)
66.7
76.0
85.0
112.3
128.0
由资料看y与x呈线性相关，试求回归方程.
解 =30,==93.6.=≈0.880 9.
=-=93.6-0.880 9×30=67.173.∴回归方程为=0.880 9x+67.173.
5.某公司利润y与销售总额x(单位：千万元）之间有如下对应数据：
x
10
15
17
20
25
28
32
y
1
1.3
1.8
2
2.6
2.7
3.3
（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）估计销售总额为24千万元时的利润.
解 （1）散点图如图所示：

（2)=(10+15+17+20+25+28+32)=21,=(1+1.3+1.8+2+2.6+2.7+3.3)=2.1,
=102+152+172+202+252+282+322=3 447,
=10×1+15×1.3+17×1.8+20×2+25×2.6+28×2.7+32×3.3=346.3,
==≈0.104,=-=2.1-0.104×21=-0.084,∴=0.104x-0.084.
(3)把x=24(千万元）代入方程得，=2.412（千万元）.
∴估计销售总额为24千万元时，利润为2.412千万元.
6.某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据:
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？
解 （1）根据表中所列数据可得散点图如下：

（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i
1
2
3
4
5
xi
2
4
5
6
8
yi
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
因此，==5,= =50,=145, =13 500, =1 380.
于是可得：===6.5;=-=50-6.5×5=17.5.
因此，所求回归直线方程为：=6.5x+17.5.
（3）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元.
7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：

零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；

(2)求出y关于x的线性回归方程 ＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
(3)试预测加工10个零件需要多少时间？
解

(1)散点图如图所示．
(2)由表中数据得xiyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，x＝54，∴ ＝0.7.(7分)∴ ＝－ ＝1.05.
∴ ＝0.7x＋1.05.回归直线如图中所示．(10分)
(3)将x＝10代入线性回归方程，得y＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，
∴预测加工10个零件需要8.05小时．(14分)
35．某种产品的宣传费支出x与销售额y(单位：万元)之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？
解　(1)根据表中所列数据可得散点图如图所示：

(2)计算得：＝＝5，＝＝50，
x＝145，xiyi＝1 380.于是可得b＝＝＝6.5，(7分)
a＝－b＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求线性回归方程是 ＝6.5x＋17.5. (10分)
(3)由上面求得的线性回归方程可知，当宣传费支出为10万元时，
＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，即这种产品的销售大约为82.5万元．(14分)
8．某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：
月份
产量(千件)
单位成本(元)
1
2
73
2
3
72
3
4
71
4
3
73
5
4
69
6
5
68
(1)求出线性回归方程；(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？
(3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？
解　(1)n＝6，xi＝21，yi＝426，＝3.5，＝71，
x＝79，xiyi＝1 481，
b＝＝≈－1.82. (5分)
a＝－b＝71＋1.82×3.5＝77.37.∴线性回归方程为 ＝a＋bx＝77.37－1.82x. (8分)
(2)因为单位成本平均变动b＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以根据回归系数b的意义有：
产量每增加一个单位即1 000件时，单位成本平均减少1.82元． (12分)
(3)当产量为6 000件时，即x＝6，代入线性回归方程：
＝77.37－1.82×6＝66.45(元)．∴当产量为6 000件时，单位成本为66.45元．(14分)

7