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课时跟踪检测(十) 对数与对数函数
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1．函数f(x)＝的定义域为( )
A. B．(2，＋∞)
C.∪(2，＋∞) D.∪
C．(2,3)∪(3,4] D．(－1,3)∪(3,6]
解析：选C 由得故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.
6．计算：lg 0.001＋ln＋2＝________.
解析：原式＝lg 10－3＋ln e＋2log2＝－3＋＋＝－1.
答案：－1
7．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．
解析：
问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
8．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为______．
解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，
当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，
因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log (－x)．
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－<x<，
即不等式的解集为(－，)．
10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值．
解：(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得x∈(－1,3)，
∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2(1＋x)(3－x)
＝log2，
∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；
当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是
f(1)＝log24＝2.
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1．已知函数f(x)＝loga(2x－a)在区间上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 当0<a<1时，
函数f(x)在区间上是减函数，
所以loga>0，
即0<－a<1，
解得<a<，故<a<1；
当a>1时，函数f(x)在区间上是增函数，
所以loga(1－a)>0，
即1－a>1，解得a<0，此时无解．
综上所述，实数a的取值范围是.
2．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)当x∈时，求函数h(x)＝·g(x)的值域；
(2)如果对任意的x∈，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
因为x∈，所以log2x∈，
故函数h(x)的值域为．
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈，所以t＝log2x∈，
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈恒成立，
①当t＝0时，k∈R；
②当t∈(0,2]时，k<恒成立，
即k<4t＋－15，
因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，
所以4t＋－15的最小值为－3.
综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)．
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