资源描述
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时间：60分钟
基础组
1.若曲线ax2＋by2＝1为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足( )
A．a2>b2 B.<
C．0<a<b D．0<b<a
答案 C
解析 由ax2＋by2＝1，得＋＝1，因为焦点在x轴上，所以>>0，所以0<a<b.
2．设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案 D
解析 ∵(＋)·＝(＋)·＝·＝0，∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，∴S△F1PF2＝mn＝1，故选D.
3．已知点P是椭圆＋＝1(x≠0，y≠0)上的动点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是( )
A．
答案 B
解析 延长F1M交PF2或其延长线于点G.
∵·＝0，∴⊥，又MP为∠F1PF2的平分线，∴|PF1|＝|PG|且M为F1G的中点，∵O为F1F2的中点，∴OM綊F2G.∵|F2G|＝|PG|－|PF2|＝||PF1|－|PF2||，∴||＝|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||.
∵4－2<|PF2|<4或4<|PF2|<4＋2，∴||∈(0,2)．
4．在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 依题意知AB＝BC＝2c，AC＝2a－2c，在△ABC中，由余弦定理得(2a－2c)2＝8c2－2×4c2×，故16e2＋18e－9＝0，解得e＝.
5．如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 由题知|AF1|＋|AF2|＝2a(设a为椭圆的长半轴)，|AF1|－|AF2|＝2，而|F1F2|＝|F1A|＝4，因此可得2×|F1A|＝2a＋2，∴8＝2a＋2，∴a＝3，又c＝2，故C2的离心率e＝.
6．已知F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则( )
A．t＝2 B．t>2
C．t<2 D．t与2的大小关系不确定
答案 A
解析 如图，
P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a，所以t＝a＝2.故选A.
7．椭圆＋＝1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题知AF⊥BF，根据椭圆的对称性，AF′⊥BF′(其中F′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF′是矩形，于是|AB|＝|FF′|＝2c，|AF|＝2csinα，根据椭圆的定义，|AF|＋|AF′|＝2a，∴2csinα＋2ccosα＝2a，∴e＝＝＝，而α∈，
∴α＋∈，∴sin∈，故e∈，故选A.
8. 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使＝，则该椭圆离心率的取值范围为( )
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A．(0，－1) B.
C. D．(－1,1)
答案 D
解析 根据正弦定理得＝，所以由＝可得＝，即＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|，又|PF1|＋|PF2|＝e|PF2|＋|PF2|＝|PF2|·(e＋1)＝2a，则|PF2|＝，因为a－c<|PF2|<a＋c(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a－c<<a＋c，即1－<<1＋，所以1－e<<1＋e，即解得－1<e<1，选D.
9．已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．
答案 ＋y2＝1
解析 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b＝1.设右焦点为(c,0)(c>0)，它到已知直线的距离为＝3，解得c＝，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方程为＋y2＝1.
10．如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点．则·的最大值为________．
答案 4
解析 设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，
∵e＝＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
故所求椭圆方程为＋＝1.
∴－2≤x0≤2，－≤y0≤.
∵F(－1,0)，A(2,0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
∴·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.
即当x0＝－2时，·取得最大值4.
11．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
解 (1)由题意知c＝1,2a＝＋＝4，a＝2，故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①当直线l⊥x轴时，可取A，B，△AF2B的面积为3，不符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，显然Δ>0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，可得|AB|＝，
又圆F2的半径r＝，∴△AF2B的面积为|AB|r＝＝，化简得：17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，
∴r＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
(1)若点C的坐标为，且BF2＝，求椭圆的方程；
(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．
解 设椭圆的焦距为2c，则F1(－c,0)，F2(c,0)．
(1)因为B(0，b)，所以|BF2|＝＝a.
又|BF2|＝，故a＝.
因为点C在椭圆上，所以＋＝1.解得b2＝1.
故所求椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，
所以直线AB的方程为＋＝1.
解方程组得或
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为＝，直线AB的斜率为－，且F1C⊥AB，所以·＝－1.
又b2＝a2－c2，整理得a2＝5c2.故e2＝.因此e＝.
能力组
13. 过椭圆＋＝1(a>b>0)左焦点F，且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量＋与向量a＝(3，－1)共线，则该椭圆的离心率为( )
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A. B.
C. D.
答案 B
解析 设椭圆的左焦点为F(－c,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，直线AB的方程为y＝x＋c，代入椭圆方程并整理得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2c2－a2b2＝0.
由韦达定理得x1＋x2＝－，所以y1＋y2＝x1＋x2＋2c＝.
根据＋与a＝(3，－1)共线，得x1＋x2＋3(y1＋y2)＝0，
即－＋3×＝0，解得＝，所以e＝ ＝，故选B.
14．已知点A，D分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点，点P是线段AD上的任意一点，点F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，且·的最大值是1，最小值是－，则椭圆的标准方程为________．
答案 ＋y2＝1
解析 设点P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则＝(－c－x，－y)，＝(c－x，－y)，所以·＝x2＋y2－c2.
因为点P在线段AD上，所以x2＋y2可以看作原点O至点P的距离的平方，易知当点P与点A重合时，x2＋y2取最大值a2，当OP⊥AD时，x2＋y2取最小值.
由题意，得，解得a2＝4，b2＝1.即椭圆的标准方程为＋y2＝1.
15．已知圆O：x2＋y2＝4，点A(，0)，以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程；
(2)直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程．
解 (1)设AB的中点为M，切点为N，连接OM，MN，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝2，取A关于y轴的对称点A′，连接A′B，故|A′B|＋|AB|＝2(|OM|＋|MN|)＝4.
所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，4为长轴长的椭圆．
其中，a＝2，c＝，b＝1，
则曲线Γ的方程为＋y2＝1.
(2)因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，
则⊥.设B(x0，y0)，
则x0(x0－)＋y＝0.
又＋y＝1，解得x0＝，y0＝±
则kOB＝±，所以kAB＝±，
则直线AB的方程为x＋y－＝0或x－y－＝0.
16. 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足＋＝0.
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(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．
解 (1)点P(－，1)在椭圆上，
∴＋＝1.①
又∵＋＝0，M在y轴上，
∴M为PF2的中点，
∴－＋c＝0，c＝.
∴a2－b2＝2，②
联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，
∴a2＝4.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)∵点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，
∴
解得∴3x1－4y1＝－5x0.
∵点N(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，
∴－2≤x0≤2，∴－10≤－5x0≤10，
即3x1－4y1的取值范围为．
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