资源描述
1.1 已知、、为样本空间上的三个事件，试用，，的运算关系表示下列事件：
（1）发生，与不发生；
（2）、、都发生；
（3）、、中至少有一个发生；
（4）、、不多于两个发生；
解：（1）发生，与不发生表示为：
（2）、、都发生表示为：
（3）、、中至少有一个发生表示为：
（4）、、不多于两个发生表示为：
1.2 已知样本空间，事件，，，写出下列事件的表达式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
解：（1）
（2）
（3）
（4）
1.3 设随机试验是将一枚硬币抛两次，观察正面，反面出现的情况，试分析它的样本空间、事件与概率。
解：样本空间：
各种事件组成集合：
显然，其中的事件是样本的的各种组合。
，，为事件包含的样本点数。
1.4 设A、B与C是建立在样本空间上的事件，试证明：
证明：已知加法公式
1.5 已知事件，相互独立，试证明：
（1）和相互独立； （2）和相互独立；
（3）和相互独立；
解：事件，相互独立，即
（1）由事件的运算及其对应的概率关系：
，所以和相互独立
（2）由事件的运算及其对应的概率关系：
，所以和相互独立
（3）由事件的运算及其对应的概率关系：
，所以和相互独立
1.6 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？
（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？
解：（1）用表示第批的所有零件组成的事件，用表示所有次品零件组成的事件。
由全概率公式：
（2）发现次品后，它来自第二批的概率为（由贝叶斯率公式），
1.7 一个电子系统为5个用户服务。若一个用户使用系统时，系统输出功率为0.6W，而且各用户独立使用系统，使用概率均为0.3。
（1） 求电子系统输出功率的概率分布；
（2） 系统输出大于2W时，系统过载，求其过载的概率。
解：设系统输出功率，5个用户中实际使用系统的用户数目为，则，的可能取值集合为。每个用户使用系统的概率为；不使用系统的概率为。各个用户是否使用系统彼此是统计独立的。因此，是二项式分布的随机变量。所以，
（1）系统输出功率的概率分布为，
（2）输出功率大于2W，只有两种情况：和。因此，
1.8 有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是0.25、0.4和0.1，乘飞机来则不会迟到。结果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？
解：设乘火车、轮船、汽车、飞机来的事件分别表示为A1、A2、A3、A4，迟到事件为E
则
由贝叶斯率公式可以计算出四个后验概率：
最大，故她最可能坐的是轮船。
1.9 设随机试验的分布律为
1
2
3
求的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：
1.10 设随机变量的绝对值不大于1，它在区间上均匀分布，且与。求：（1）的概率密度和分布函数，并给出图形；（2）
解：（1）已知，其中，，则
又因为它在区间上均匀分布，所以
（2）由条件可知
1.11 设随机变量的概率密度函数为，求:(1)系数；（2）其分布函数。
解：（1）由
所以
（2）
所以的分布函数为
1.12 某生产线制造的电阻器，必须满足容许偏差10%的要求。实际生产的电阻器阻值不可能每次都是精确的，而是随机变化的。实际生产的电阻器阻值概率分布满足。求该电阻器的报废率是多少？生产个电阻，平均报废的电阻器是多少？
解：生产电阻器的阻值是随机量，报废的电阻器的电阻值满足或。因此，生产电阻器的报废率为：
随机变量的概率密度是
则
于是生产个电阻器平均废品数目为，。
1.13 某汽车站每天有1000辆汽车进出，而每辆汽车每天平均发生事故的概率为0.0001，问一天内汽车站出事故的次数大于1的概率是多少？
解：设每辆汽车每天平均发生事故的概率表示为，
一天内汽车站出事故的次数，N是一个二项分布的随机变量，则一天内汽车站出事故的次数大于1的概率是：
1.14 若随机变量与的联合分布律为
Y
X
-1
0
1
0
0.07
0.18
0.15
1
0.08
0.32
0.20
求：（1）与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）的分布律；（4）与的相关系数。
解：（1）与的联合分布函数与密度函数为
（2）的分布律为
的分布律为
（3）的分布律为
（4）因为
则
与的相关系数，可见它们无关。
1.15 设高斯随机变量作用于一个电平的量化器，其量化特性如题图1.15所示。试求输出随机变量的分布律。
题图1.15
解：由量化器的输入输出特性可知，输入的连续型高斯随机变量通过量化器之后变为离散型随机变量，并满足如下关系：
于是，
同理，
1.16 设随机变量，且相互独立，。
（1） 求随机变量的联合概率密度；
（2） 随机变量与是否相互独立？
解：（1）随机变量的联合概率密度为
由反函数 ，，
（2）由于,
所以随机变量与相互独立。
1.17 半波整流器的输出与输入之间的数学模型可以表示为
如题图1.17所示。若已知输入随机变量的概率密度与分布函数分别为和，试求输出的概率密度函数。
解：
图题1.17 半波整流器
由已知
于是，
1. 如果，由于始终有，因此事件是不可能事件，所以，
2. 如果，事件等同于事件，于是，
注意到在将有一个跳跃型间断点，跳跃幅度。因此，
1.18 已知随机变量的可能取值为，且每个值出现的概率均为。求
（1）随机变量的数学期望和方差；
（2）随机变量的概率密度；
（3）的数学期望和方差；
解：（1）随机变量的数学期望和方差
（2）随机变量的概率密度
（3）的数学期望和方差
1.19 整数型随机变量与独立，求的分布。
解：对于整数型随机变量与，其分布律可表示为。令，则
其中利用与相互独立。我们知道离散型卷积公式为
类似地，我们可以将分布律写成卷积
1.20 设服务器由两个相互独立的子服务器和联接而成，的寿命分别服从参数为的指数分布，两个子服务器的联接方式有（1）串联；（2）并联；（3）备用。试分别求出系统寿命的概率密度。
解：（1）串联：两台必须都正常，于是。由于
（2）并联：只要有一台正常，于是
（3）备用：两台接替使用，于是
1.21 已知对随机变量与，有，，，，，又设，，试求，，，和。
解：首先，
， 。
又因为。于是
，
1.22 若随机变量X与Y的联合密度函数为
判断X与Y是否正交、无关与独立。
解：
故X与Y不正交。X与Y的边缘密度函数分别为
故X与Y独立，因而X与Y也不相关。
1.23 若随机变量与的联合密度函数为
求：（1）与的边缘分布律；（2）与的独立性；（3）。
解： （1）的边缘概率密度
的边缘概率密度
（2）由于，则与不独立。
（3）
于是
1.24 已知随机变量服从上的均匀分布。随机变量服从上的均匀分布，试求
（1） ；
（2）
解：（1）对有，
（2）
1.25 试证明条件期望基本性质：
证明：
1.26 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目服从参数为泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。
解：每个粒子是否造成损坏用表示
造成损坏的粒子数，于是
可合理地认为和是独立的，于是
1.27 若随机变量X的概率特性如下，求其相应的特征函数：
（1）为常数c，即；
（2）参数为2的泊松分布；
（3）（－1，1）伯努利分布：
（4）指数分布：
解：（1），如果c=0，则。
（2）
（3）
（4）
1.28 随机变量彼此独立；且特征函数分别为，求下列随机变量的特征函数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
解：（1）
（2）同（1），
（3）
（4）
1.29 随机变量X具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
解：（1）
（2）
（3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，
。
（4），利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，
, ,
。
1.30 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。
解：设随机变数服从均匀分布，由于是宽度为，高度为，中心在处的矩形函数。其傅立叶变换为
因此，
1.31 给定线性变换，证明
证：由特征函数的定义
1.32 利用特征函数的唯一性，证明：若高斯随机变量，相互独立，并且，则也是高斯的。
证：因为随机变量的特征函数为，由于相互独立，所以
该形式说明，必然是高斯的，且。
1.33 设有高斯随机变量，试利用随机变量的矩发生特性证明：
(1)
(2)
(3)
解：特征函数为，由矩发生性质，
1.34 已知随机变量，的联合特征函数为
求：
（1）随机变量的特征函数；
（2）随机变量的期望和方差；
解： (1) 随机变量的特征函数：
（2）随机变量的特征函数：
1.35 计算机在进行某种加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，假设所有舍入误差是独立的，且在服从均匀分布。
（1） 若将1200个数相加，问误差总和的绝对值超过10的概率是多少？
（2） 为保证误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90，最多可有几个数相加？
解：（1）设第k个数的舍入误差为，在上均匀分布，则即为误差总和。并且
由同分布的中心极限定律可知，即，因此，
（3）设满足所给条件下，最多可由n个数相加，则，只要n较大，。先假定比较大，条件要求
即
查表得，，即即可（可见n确实比较大）。
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