弦振动方程的导出与定解条件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,时间：本周三到周六早上,8,：,00-12,：,00,1,、购买练习册（以小班为单位购买）,下午,2:00-5:30,地点：科技楼,602(,应用数学系办公室,),3,、综合成绩：,平时成绩,:30%,（考勤,+,作业）,卷面成绩：,70%,2,、答疑：从第六周开始,1,典型的数学物理方程的导出,1.1,弦振动方程与定解条件,1.2,热传导方程与定解条件,1.3,拉普拉斯方程与定解条件,2,1.1,弦振动方程与定解条件,弦振动方程是在,18,世纪由达朗贝尔等人首先给予系统研究的。它是一大类偏微分方程的典型代表。,一、下面先从物理问题出发来导出弦振动方程。,给定一根两端固定且拉紧的,均匀,的,柔软,的弦，其长度为,L,。在外力作用下在平衡位置附近作,微小的横振动,，求弦上各点的运动规律。,3,将实际问题归结为数学模型时，必须作一些理想化的假设，以便抓住问题的最本质的特征。,在考察弦振动问题时的基本假设为：,1.,弦是,均匀,的，弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略，弦的线密度,是常数。,2.,弦是,柔软,的，它在形变时不抵抗弯曲，弦上各点所受的张力方向与弦的切线方向一致，,而弦的伸长形变与张力的关系服从,胡克,（,Hooke,）,定律,。（,即指在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比,）,4,3.,弦在某一平面内作,微小横振动,即弦的位置始终在一直线段附近（平衡位置），而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小振动。（,“,微小,”,是指弦振动的幅度及弦上任意点切线的倾角都很小）,我们将在上述假定下来导出弦振动方程。,先讨论振动过程中不受外力作用时弦振动的情形,5,为此，选择坐标系如下,弦的平衡位置为,轴，两端分别固定在,和,处,.,表示弦上横坐标为,的点在时刻,时沿垂直于,轴方向的位移。,6,为了求弦上任意一点的运动规律，必须对弦上任取一,小弦弧,进行考察。,我们首先证明张力为常数（即与位置与时间无关）。,假设小弦弧,的弧长为,7,利用弧长公式可知：,由假定，弦只作微小振动，,与,1,相比可以,忽略不计，从而,8,这样我们可以认为这段弦在振动过程中并未伸长，,因此由胡克定律知道，,弦上每一点所受的张力在运动过程中保持不变，,即张力与时间无关。,接下来,我们只须说明张力与位置,无关,9,我们分别把在点,处的张力记作,由前所述知他们的方向分别是沿着弦在点,处的切线方向。,由假定，弦只作横向振动，因此张力在,轴方向分量的代数和为零，,即有,10,由于小振动：,于是上式可以写成,这就是说，张力也不随地点而异，综上所述，,张力是常数,，以下记作,11,现在来导出弦的横振动方程,.,张力在,轴方向,分量的代数和为,由于小振动：,12,应用微分中值定理：,另一方面，由于弦段,很小，其上每点的,加速度相差也不会太大，,因此可用其中一点,处的加速度,代替，,13,于是该小段弦的质量与加速度的乘积为,当,弦不受外力作用,时，应用牛顿第二定律，得,消去,并令,14,上式化为,这个方程称为弦的,自由横振动方程。,15,若还有外力作用到弦上,，其方向垂直于,轴，,设其力密度为,由于弦段,很小，,其上各点处的外力近似相等，,因此作用在该段上的外力近似地等于,16,同样应用牛顿第二定律，得,消去,并令,则得弦的,强迫横振动方程,17,弦振动方程中只含有两个自变量,和,其中,表示时间，,表示位置。,由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称它为,一维波动方程,。,类似地可导出,二维波动方程,（例如薄膜振动）和,三维波动方程,（例如电磁波、声波的传播），,它们的形式分别为,18,二、定解条件,对于一个确定的物理过程，仅建立表征该过程的物理量,所满足的方程还是不够的，还要附加,一定的条件，这些条件应该恰恰足以说明系统的,初始状态以及边界上的物理情况。,定解条件包括,初始条件,和,边界条件,。,初始条件：,表征某过程,“,初始,”,时刻状态的条件。,对于弦振动问题来说，初始条件指的是弦在,“,初始,”,时刻的位移和速度。,初始位移,初始速度,19,边界条件：,表征某过程的物理量在系统的边界上所满足的物理条件。,对于弦振动问题而言，有三种基本类型：,1,、,第一类边界条件,（狄利克雷,Dirichlet,）,弦的一端的运动规律已知，,为例，若以,表示其运动规律，,则边界条件可以表达为,特别的，,若,端被固定，则相应的边界条件为,非齐次边界条件,齐次边界条件,以,20,2,、,第二类边界条件,（诺伊曼,Neumann,）,若弦的一端（例如,）在垂直于,轴的直线,上自由滑动，且不受到垂直方向的外力，这种边界,成为,自由边界,.,根据边界微元右端的张力沿垂直方,向的分量是,，得出在自由边界时成立,若边界张力沿垂直方向的分量是,t,的一个已知函数，,则相应的边界条件为,非齐次边界条件,齐次边界条件,21,3,、,第三类边界条件,（鲁宾,Robin,）,若弦的一端（例如,）固定在弹性支承上，,并且弹性支承的伸缩符合胡克定律,.,为,则,u,在端点的值表示支承在该点的伸长。,弦对支承拉力的垂直方向分量为,若支承的位置,由胡克定律得,因此在弹性支承的情形，边界条件归结为,22,在数学中也可以考虑更普遍的边界条件,非齐次边界条件,齐次边界条件,其中,是已知正数,.,其中,是,t,的已知函数。,因此在弹性支承的情形，边界条件归结为,23,定解问题,定解问题：由,泛定方程,和,定解条件,构成的问题,根据定解条件的不同，定解问题又细分为：,混合问题或初边值问题；,初值问题或柯西（,Cauchy,）问题；,边值问题,两端固定的弦的自由振动问题,24,