1.1.1变化率问题.doc

1. 1.1变化率问题
课前预习学案
预习目标：“变化率问题”，课本中的问题1,2。知道平均变化率的定义。
预习内容：
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？
气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为__________
当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为__________________
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为_____________
h
t
o
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
在这段时间里，=_________________
在这段时间里，=_________________
问题3 平均变化率
已知函数，则变化率可用式子_____________,此式称之为函数从到___________.习惯上用表示，即=___________,可把看做是相对于的一个“增量”，可用代替，类似有__________________,于是，平均变化率可以表示为_______________________
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容

课内探究学案
学习目标 1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
学习重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
学习难点：
平均变化率的概念.
学习过程
一：问题提出
问题1气球膨胀率问题：
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是__________.
如果将半径r表示为体积V的函数,那么___________.
⑴ 当V从0增加到1时,气球半径增加了___________.
气球的平均膨胀率为___________.
⑵ 当V从1增加到2时,气球半径增加了___________.
h
t
o
气球的平均膨胀率为___________.
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? ___________.
问题2 高台跳水问题：
在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在怎样的函数关系？
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系___________.
）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０.5，1≤t≤2，1.8≤t≤2，2≤t≤2.2，时间段里的平均速度.
思考计算：和的平均速度
在这段时间里，___________.；
在这段时间里，___________.
探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，
所以___________.虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
（1）计算和思考，展开讨论；
（2）说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.
（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；
二平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
2．若设, (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)
3． 则平均变化率为___________.
思考：观察函数f(x)的图象
平均变化率表示什么?
（1） 一起讨论、分析，得出结果；
（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率.
注意：①Δx是一个整体符号，而不是Δ与x相乘；
②x2= x1+Δx；
③Δf=Δy=y2-y1；
三．典例分析
例1．已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则 ．
解：
例2．求在附近的平均变化率。
解：
四．有效训练
1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.
3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.
反思总结：1、平均变化率的概念
2、如何求函数在某点附近的平均变化率
当堂检测
1、函数在区间上的平均变化率是（ ）
A、4 B、2 C、 D、
2、经过函数图象上两点A、B的直线的斜率（）为_______;函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为_________________
3、如果质点M按规律运动，则在时间[2，2.1]中相应的平均速度等于______
课后练习与提高
1、 已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率
（1）[1，1.01] (2)[0.9,1]
2、 已知一次函数在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。
3、已知函数的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+，）），求
4、将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的体积增量
1.1.1 变化率问题
教学目标：
1.理解平均变化率的概念;
2.了解平均变化率的几何意义;
3.会求函数在某点处附近的平均变化率.
教学重点：
平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.
教学难点：
平均变化率的概念.
教学过程：
一、创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等.
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.
导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.
二、新课讲授
(一)问题提出
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是
如果将半径表示为体积的函数,那么
分析:
(1)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
(2)当从增加到时,气球半径增加了
气球的平均膨胀率为
可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
h
t
o
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?
思考计算: 和的平均速度
在这段时间里,
在这段时间里,
探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程: 如图是函数的图像,
结合图形可知,,所以
虽然运动员在这段时间里的平均速度为,
但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,
可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.
(二)平均变化率概念
1.上述问题中的变化率可用式子表示,
称为函数从到的平均变化率.
2.若设, (这里看作是对于的一个“增量”可用代替,同样)
则平均变化率为
思考: 观察函数的图象
平均变化率表示什么?
三、典例分析
例1 已知函数的图象上的一点及
临近一点则 .

解:
∴
例2 求在附近的平均变化率.
解:
所以
所以在附近的平均变化率为
四、课堂练习
1.质点运动规律为,则在时间中相应的平均速度为 .
2.物体按照的规律作直线运动,求在附近的平均变化率.
3.过曲线上两点和作曲线的割线,
求出当时割线的斜率.
五、回顾总结
1.平均变化率的概念.
2.函数在某点处附近的平均变化率.
六、布置作业
求函数在附近的平均变化率，取都为，哪一点附近的平均变化率最大？