非线性物理12(单摆、庞加莱映射).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章,非线性振动初步,1,第三节 受迫振荡,1,线性单摆的受迫振动,2.,庞加莱截面,3.,初识单摆的复杂运动,2,驱动单摆方程,驱动力写成指数,这是非齐次线性微分方程,其通解是它的齐次线性方程的通解和,它的一个特解的和,1.,齐次方程的通解,:,类似线性阻尼单摆，得：,小摆角驱动单摆的通解,1,线性单摆的受迫振动,(,小驱动力的单摆,),3,2.,非齐次方程的特解,:,设,求导：,消去公因子,代入,小摆角驱动单摆的通解,1,线性单摆的受迫振动,(,小驱动力的单摆,),4,代入,r,、,j,以后特解为：,非齐次线性微分方程的通解,第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分,衰减过程常称为,过渡过程。,小摆角驱动单摆的通解,1,线性单摆的受迫振动,(,小驱动力的单摆,),5,谐振特性,研究,幅频特性,：,将分母根号下对频率求导并令其等于零：,共振频率,n,r,小于系统自振频率,w,，,共振时的最大振幅,为：,共振时最大振幅与阻尼有关,共振频率,1,线性单摆的受迫振动,(,小驱动力的单摆,),6,庞加莱截面与庞加莱映射,相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。例如，即使是弱驱动力与弱阻尼单摆,-,杜芬方程，相图已复杂多了。,庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为,庞加莱截面,，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。,在,n,维相空间里取一个,n,-1,维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况。,人们将这种把时间上的连续运动,转变为离散的图象处理方法称为,庞加莱映射,。,2,.,庞加莱映射,7,单周期运动,，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。,两倍周期运动,，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；,四周期运动,，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到,无周期运动,，截面上将出现留下无穷多点。,2,.,庞加莱映射,庞加莱截面与轨线,运动,8,2,.,庞加莱映射,庞加莱截面与轨线,运动,单周期运动,，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。,两倍周期运动,，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；,四周期运动,，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点,;,无周期运动,，截面上将出现留下无穷多点。,9,单摆的三维相空间,2,.,庞加莱映射,阻尼单摆的运动方程,引入新变量,即相位,：,可得到描述单摆运动的,三维相空间,相角,j,有周期性，把,2,n,p,和,2(,n,+1),p,平面连接起来，相空间扩展为圆环。原来圆形轨线成了在圆环面的环线。取某常数位相，即在该位相处截取一平面，环线在穿过时留下了一个点。,10,单摆的三维相空间,2,.,庞加莱映射,11,它的相图有一个奇怪吸引子,(,无周期运动,),。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不停地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了,1000,圈后在该吸引子附近的形状。,右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。,受驱转子的运动,2,.,庞加莱映射,12,3.,初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆,阻尼单摆方程为：,小驱动力作用 作小幅度振动,13,3.,初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆,14,3.,初识单摆的复杂运动,小驱动力单摆的相轨线方程,是椭圆方程。说明：,1.,在小驱动力下,单摆的相轨线是闭合椭圆曲线,2.,说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。,3.,驱动频率及阻尼力系数为定值时，椭圆的半径驱动力矩,F,增大而增大,，,(,即摆角在增大,),。,小驱动力单摆,15,3.,初识单摆的复杂运动,随着驱动力的增大，相轨线的半径也增大，这就意味着摆角的增大，使得,sin,的,小摆角近似已不再适用,相轨线的表达式将无法得到，此时相轨线只能根据单摆的运动方程，用数值计算来求得。,数值计算结果,下面将给出当,1/4,，,v,2/3,为定值时，,F,由小到大取一系列数值时的数值计算结果。,16,3.,初识单摆的复杂运动,1.,附近出现对称性破缺,a.,小摆角的对称椭圆在 附近变为蛋形，说明这里发生了对称性破缺；,b.,蛋形的朝向与相角的取值有关；,c.,这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。,数值计算结果,17,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,18,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,19,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,2 F=1.093,附近做,准周期运动,：,a.,当驱动力继续上升时,相轨线偏离闭合的单周期轨道，复杂化起来。,b.,在,F,=1.093,时,相图上，相轨线虽在,-,p,p,的单摆势谷来回环绕，但始终无法达到周期重复状态。,c.,在庞加莱截面上，相点处于一条曲线上，可以认定系统处于,准周期状态,（接近正确的周期运动）。,d.,庞加莱截面上的图形与所取截面的位置,(,即相角,),有关。,20,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,21,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,3.F=1.15,附近进入混沌状态,a.,运动已扩展到势谷,(),两侧的势谷内。,b.,运动会在一个势谷内绕上几圈，然后随机地进入到相邻的势谷内再绕上几圈，往复不已。,c.,在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。,22,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,23,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,24,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,25,3.,初识单摆的复杂运动,数值计算结果,26,3.,初识单摆的复杂运动,结论,综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点,：,(1),在小驱动力下，单摆作规则的周期运动。当驱动力矩增加到某,临界值时，单摆从周期的运动状态进入随机运动状态，这种状态常被称为,混沌,。,(2),混沌状态并不是混乱一片,。从相图上看，相轨线的分布虽然弥散开来，但并不均匀地分布到整个区间，而是有疏有密地分布着。在庞加来截面上，起始时相点虽然随机地分布着，然而在足够长的时间以后，一种由相点描绘的内部结构逐步地显露出来。,(3),这些情况说明，,混沌具有非常丰富的内部结构层次,。,27,公转轨道：距土星,1481100,千米,直径：,286,千米,(410,260,220),质量：,1.77,10,19,千克,混沌运动的其它例子,土卫七的复杂运动,28,29,