分布与检验-PPT.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分布与检验,为了方便,通常用:,表示随机变量,X,服从正态分布。,符号表示随机变量服从什么样得分布;,N,表示正态分布;,为正态分布得(总体)均值(或期望)与方差。,X,就是一个连续型随机变量,可在区间(,+)内任意取值。,-,-2,2,68%(近似),3,-3,95%(近似),99、7%(近似),正态曲线下得区域示意图,1、2 正态分布得性质:,正态分布曲线以均值,为中心,对称分布。,正态分布得概率密度函数呈中间高、两边低,在均值,处达到最高,向两边逐渐降低,即随机变量在远离均值处取值得概率逐渐变小。,正态曲线下得面积约有68%位于 两值之间;约有95%面积位于2之间;约有99、7%得面积位于 3之间。这些区域可用作概率得度量。,正态分布可由两个参数,来描述,即一旦知道,得值,就可以根据附录表查到随机变量,X,落于某一区间得概率值。,两个(或多个)正态分布随机变量得线性组合仍服从正态分布。该性质很重要,解释如下:,令:,假定,X,与,Y,相互独立,设,a、b,为常数,考虑线性组合:,W=aX+bY,则有:,其中,1、3 标准正态分布,由于期望与方差得不同,正态分布之间会存在一定得区别(见下图),如何将其简单化,从而引入标准正态分布。,1,2,不同均值,同方差得两个正态分布图,1,2,1=,2,不同均值,不同方差,相同均值,不同方差,标准正态分布,如果变量,X,得均值为,方差为,定义一个新得变量,Z,则根据性质5,变量,Z,得均值为0,方差为1。在统计学中,我们称之为单位或标准正态变量,用符号表示为:,任一给定均值与方差得正态变量都可转化为标准正态变量,将其标准化可以大大简化计算。,大家学习辛苦了，还是要坚持,继续保持安静,例:变量,X,表示面包房每日出售得面包量,假定它服从均值为70、方差为9得正态分布,即,XN(70,9),求任给一天,出售面包数量大于75条得概率。,首先,定义变量,Z,Z=(75-70)/31、67,求:,P(Z1、67),查正态分布表得:,P(0Z1、67)=0、4525,则:,P(Z1、67)=0、5-0、4525=0、0475,即每天出售面包得数量超过75条得概率为0、0475。,1、67,0,0、4525,0、0475,f(Z),标准正态变量概率密度函数,t,分布,回忆:若样本均值 ,则变量,Z,服从标准正态分布。,即:,假定,已知与,得估计量,S,则可以用样本标准差(,S),代替总体标准差(),得到一个新得变量,t,。,根据统计理论得知:变量,t,服从自由度为(,n-1),得,t,分布。,注意:在这里,自由度为(,n-1),而不就是,n。,结论:从正态总体中抽取随机样本,若该正态总体得均值为,但方差,用其估计量,S,来代替,则其样本均值服从,t,分布。通常用符号,t,k,表示,其中,k,表示自由度。,k=120(,正态),K=20,K=5,0,不同自由度下得分布,t,分布得性质,t,分布与正态分布相类似,具有对称性。,t,分布得均值与标准正态分布均值相同,为0,但方差为,k/(k-2)。,由此,在求,t,分布得方差时定义自由度必须大于2。,标准正态分布得方差等于1,因此,t,分布方差总大于标准分布得方差,也就就是说,t,分布比正态分布略“胖”些。,t,分布与正态分布:,当,k,增大时,t,分布得方差接近于标准正态分布方差值1。,例如:当,k=10,时,t,分布得方差为10/8=1、25;,当,k=30,时,t,分布得方差为30/28=1、07;,当,k=100,时,t,分布得方差为100/98=1、02;,结论:随着自由度得逐渐增大,t,分布近似于正态分布。,注意:对于,t,分布,不要求其样本容量很大,k=,30时,t,分布与正态分布已很近似。,t,分布表得使用:,0,-1、812,1、812,例:自由度为10,P(t1、812)=P(t1、812)=P(t1、812)+P(t-1、812)=0、1,0、05,0、05,t,分布表举例:,例:变量,X,表示面包房每日出售得面包量,在15天内,出售面包得样本方差为16。假定真实得出售量为70条,求任意15天内出售面包平均数量为74条得概率。,分析:本例中已知样本方差,S,=16,则,S=4,总体均值(真实得出售量)=70,运用,t,变量公式得:,查,t,分布表,自由度为(,n-1)=15-1=14,当自由度为14时,查表得,t,值大于等于2、977得概率为0、005,大于等于4、140得概率为0、0005,所以,t,值大于等于3、873得概率介于0、00050、005之间,。,练习1:,上例中其她条件不变,现假定15天内出售面包得平均数量为72条,求获得此数量得概率。,按照上述步骤,首先运用,t,变量公式,求出,t,变量。,查,t,分布表,当自由度为14时,t,值大于等于1、761得概率为0、05,大于等于2、145得概率为0、025,因此,t,值取1、936得概率介于0、025与0、05之间。,查,t,分布表得注意事项:,自由度为(,n-1),而不就是,n。,t,分布表具有对称性,t,值大于等于某一特定值得概率与,t,值小于等于该特定值相反数得概率相等。,关注某一总体,如纽约股票交易市场得1758支(90年9月4日)股票,想要研究该总体某一方面得统计特征,比如说股票价格与收入比(,P/E),得平均值。在总体中抽取随机样本,如50支股票,求样本中每一支股票得,P/E,值,然后再计算平均,P/E,值,就称为总体平均,P/E,得估计量,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,P/E,频数,2,2,5,6,5,7,5,4,3,4,6,1,均值=11、5,样本方差=9、2755,样本标准差=3、0456,总计:50,假设得样本(50支股票得,P/E,值),假设检验,假设真实得,x,取某一特定值,如,x,=13。然后去检验这个假设,检验结果就是接受或拒绝该假设？下面以此为例说明。,用假设得语言,将,x,=13称为零假设,用符号,H,0,表示。即,H,0,:,x,=13,与零假设相对应得就是备择假设,用符号,H,1,表示,备择假设有以下几种形式:,H,1,:,x,13 称为单边备择假设;,H,1,:,x,13 称为单边备择假设;,H,1,:,x,13 称为双边备择假设。,为了检验零假设(与备择假设),根据样本数据及统计理论建立判定规则来判断样本信息就是否支持零假设。若支持,不拒绝零假设,反之拒绝零假设,接受备择假设。,建立判定规则有两种方法:置信区间法、显著性检验法。,4、1 置信区间法,在上述例子中,我们知道样本均值服从均值为,x,方差为,/,n,得正态分布,由于真实得方差未知,以样本方差代替。在这种情况下,样本均值服从,t,分布,从而得到,x,得一个95%得置信区间:,10、63,x,12、36 (,近似值),置信区间提供了在某一置信度下(如95%)真实得,x,得取值范围。因此,如果这个区间不包括零假设中得值,如,x,=13,则拒绝零假设,即我们以95%得置信度拒绝零假设。反之,接受零假设。,接受区域:上述不等式所描述得置信区间称为接受区域。,零假设得临界区域(或拒绝区域):接受区域以外得称为零假设得临界区域或拒绝区域。,临界值:接受区域得上界与下界称为临界值。它们就是接受或拒绝零假设得分界线。,归纳:如果参数值在零假设下位于接受区域内,则不拒绝零假设,若落在接受区域以外(即落在拒绝区域内),则拒绝零假设。,10、63,12、36,P/E,值,P/E,总体均值得95%得置信区间,例:坛子里得花生得重量服从正态分布,但均值与方差就是未知得。随机选取20个坛子,发现其样本均值与样本方差分别为6、5与4。检验零假设:真实均值为7、5;备则假设:真实均值不就是7、5。给定显著水平1%。,分析:令,X,代表坛子中花生得重量,因此,XN(,x,),两个参数,x,与,均就是未知得。由于知道样本方差,故设计,t,变量,它服从自由度为19得,t,分布。,查,t,分布表得:当自由度为19时,P(-2、861t2、861)=0、99,整理得出:,将已知条件代入,得:,5、22,x,7、78 (,近似值),由于该区间包括了零假设值7、5,因此,我们不拒绝零假设:真实得,x,=7、5。,5、22,7、78,7、5,0、5%,99%,0、5%,H,0,:,x,=7、5,a),x,得99%得置信区间,4、3 显著性检验,显著性检验就是一种两者择一得假设检验,现通过,P/E,一例加以说明。,根据以下公式可知:,服从自由度为(,n-1),得,t,分布。在具体应用中,、,S、n,已知,x,未知。,在零假设下设定,x,为一给定值,从而求出,t,值。由于该式中得,t,值服从自由度为(,n-1),得,t,分布,根据,t,分布很容易求出获此,t,值得概率。,显著性检验方法得关键之处就是检验统计量(,t,统计量)以及在假定,x,为一给定值下该,t,统计量得概率分布。,在,P/E,例子中,=11、5,S=3、0456,n=50。,令,H0:,x,=13,H1:,x,13,则有:,t=(11、5-13)/(3、0456/50)=-3、4826,根据该,t,值能否拒绝零假设呢？在没有设定置信水平之前,无法回答这个问题。现假定置信水平为5%,即,=5%。,当自由度为49时,在5%得显著水平下,查表得临界得,t,值为-2、0096与2、0096(见下图),获此,t,值小于或等于-2、0096得概率为2、5%,获得此,t,值大于或等于2、0096得概率也为2、5%。,95%,=2、5%,=2、5%,t=-3、5,-2、0096,2、0096,0,t,检验得显著性:双边检验,显然,t,值位于,t,分布得左侧拒绝区域。因此,拒绝零假设。,