探索三角形相似的若干思路.doc

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探索三角形相似的若干思路
山东 房延华
思路1 已知角相等时，找两对对应角相等
例1 （2017▪杭州）如图1，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．
图1

解析：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°.
∴∠AED+∠EAF＝90°，∠ACB+∠GAC＝90°．
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AED＝∠ACB.
又∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC．
（2）由已知，得AF是△ADE中DE边上的高，AG是△ABC中BC边上的高.
由（1）得△ADE∽△ABC.
∴＝=．
思路2 若只能找到一组对应角相等，判断相等的角的两边是否对应成比例
例2 如图2，在边长为a的正方形ABCD中，M是边AD的中点，在边AB上是否存在一点N（不含A，B），使得△CDM与△MAN相似？若存在，求出AN的长．
图3
C
D
M
B
A
N

解析：存在，当AN=a时，△CDM∽△△MAN．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠D=∠A=90°.
∵M是边AD的中点，
∴AM=DM=AD=a.
又AN=a，
∴==2.
又∠D=∠A=90°，
∴△CDM∽△MAN．
例3 如图3，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，连接FD，其中∠BFA＝90°，图中是否存在与△DEB相似的三角形？说明理由．
B
C
D
F
G
E
图3
A

解析：△FED∽△DEB．理由如下：
由已知，易得∠BAE＝∠AFE＝90°.
∵∠AEF＝∠BEA，
∴△AFE∽△BAE.
∴＝．
∵E为AD的中点，
∴AE＝ED.
∴＝.
又∠DEF＝∠BED，
∴△FED∽△DEB．
思路3 无法找到角相等时，判断三边是否对应成比例
例4 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由.

图4
解析：△ABC∽△DEF．
根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；DE=4，DF=2，EF=2.
∴===.
∴△ABC∽△DEF.
思路4 除此之外，也可考虑平行线分线段成比例的基本事实及相似三角形的“传递性”
例5（2017 ▪桂林）如图5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA，交DB的延长线于点E.若AB=3，BC=4，则的值为_______.

图5
解析：如图5，过点B作BH⊥OA于点H.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC==5.
∴AO=OB=.
由三角形的面积公式，可得BH•AC=AB•BC，解得BH==.
在Rt△OBH中，由勾股定理可得OH==.
∵EA⊥CA，
∴BH∥AE.
∴△OEA∽△OBH.
∴==.