随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案.doc

数学学科自习卷（二）
一、选择题
1．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是（　　）
A.，　　　　B.，　　　　C.，　　　　D.，
2．设随机变量服从正态分布，若，则的值为
A． B． C．5 D．3
3．已知随机变量～，若,则
A． 0 B． 1 C． 2 D． 4
4．同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的数学期望是（ ）
A．20 B．25
C. 30 D．40
5． 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得分, 负者得分, 比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数的期望为（ ）
A． B． C． D．
6．现在有张奖券，张元的，张元的，某人从中随机无放回地抽取张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则电子兔移动五次后位于点的概率是 （ ）
A． B． C． D．

二、填空题
9．已知，则______.
10．乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.
11．设是离散型随机变量，，且，又，则的值为______ _．
12．某车站每天都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站的时刻
8：10
9：10
8：30
9：30
8：50
9：50
概率

一旅客8：20到站，则它候车时间的数学期望为＿＿＿＿＿＿＿。（精确到分）

三、解答题
13．我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响.
（Ⅰ）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；
（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．

14．2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表:
家庭月收入（单位：元）
千以下
千～千
千～千
千～万
万～万
万以上
调查的总人数

有二孩计划的家庭数

（1）由以上统计数据完成如下列联表，并判断是否有的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．

收入不高于千的家庭数
收入高于千的家庭数
合计
有二孩计划的家庭数

无二孩计划的家庭数

合计

（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在千～万的个有二孩计划家庭中“好字”家庭有个，求的分布列及数学期望．
下面的临界值表供参考：

试卷第5页，总5页

参考答案
1．A
【解析】
试题分析：由题意得事件的个数为，事件的个数为，在发生的条件下发生的个数为，在发生的条件下发生的个数为，所以，.故正确答案为A.
考点：1.计数原理；2.条件概率.
2．A
【解析】略
3．B
【解析】
4．B
【解析】
试题分析：枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率为,由题意可知服从的二项分布,所以数学期望为,故本题选B.
考点：二项分布与数学期望.
5．B
【解析】
试题分析：由已知，的可能取值是
设每局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还要继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.
所以
所以故选B.
考点：1.相互独立事件的概率；2.数学期望.
【名师点睛】解答本题，关键在于准确理解题意，利用独立事件的概率计算公式，计算出随机变量的概率.能否理解数学期望个概念与计算公式，也是对考生的考验.
6．B
【解析】
试题分析：当取三张都是两元的得奖金额是元；当取两张两元一张五元得奖金额是元； 当取一张两元两张五元得奖金额是元.故得奖金额为,对应的概率分别是,故其数学期望是,应选B.
考点：概率和数学期望的计算.
7．B
【解析】略
8．D
【解析】
考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
专题：计算题．
分析：根据题意，分析可得质点P移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次，进而借助排列、组合分析左右平移的顺序情况，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
解答：解：根据题意，质点P移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次；
其中向左平移的3次有C53种情况，剩下的2次向右平移；
则其概率为C53×（ ）2×（）3=，
故选D．
点评：本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P移动五次后位于点（-1，0）的实际平移的情况，这里要借助排列组合的知识．

9．
【解析】
试题分析：由题意得，令，得，令，得，两式相减，得，所以.
考点：赋值法的应用.
10．
【解析】（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为.
（方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于.
11． 3
【解析】略
12．27
【解析】
13．（Ⅰ）；（Ⅱ）随机变量的分布列为

【解析】
试题分析：（Ⅰ）这是一个独立重复试验，比赛进行局结束，且乙比甲多得分，只能是前两局乙胜一局，3,4局乙连胜，根据独立重复试验从而求出，值得注意的是，做这一类题，一定分析清楚，否则容易出错；（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，只能取值，不能为3,5，分别求出的取值为的概率，列分布列，从而求出数学期望，易错点为的取值不正确，导致分布列错误。
试题解析：（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为.比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则.
（Ⅱ）由题意知，的取值为.则 ， ，所以随机变量的分布列为

则
考点：本题考查独立重复事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.
14．（1）列联表见解析，有的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）分布列见解析，
【解析】
试题分析：（1）根据题意填写好表格后，计算.因此有的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）由题意知,的可能取值为,根据二项分布的知识点求得分布列和数学期望.
试题解析：
（1）依题意得,

收入不高于千的家庭数
收入高于千的家庭数
合计
有二孩计划的家庭数

无二孩计划的家庭数

合计

因此有的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关.
（2）由题意知,的可能取值为,
.
的分布列为:

.
考点：1.独立性检验；2.二项分布.
答案第5页，总5页