新北师大版八年级下册三角形的证明.doc

新北师大版八年级下册三角形的证明
三角形的证明
【知识点一：全等三角形的判定及性质】
1．判定和性质

一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS）、角边角（ASA）
角角边（AAS）、边边边（SSS）
具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
2．证题的思路：

【典型例题】
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（　　）
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等
3．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，
则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.

5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON （如图5－7），再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．

图5－7

【巩固练习】
1．下列说法正确的是（ ）
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌
△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．
（1）请证明AD＝A'D'；
（2）把上述结论用文字叙述出来；
（3）你还能得出其他类似的结论吗?
图4－9

5．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不及底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．

图4－10
（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l及底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．
①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．

图4－11

【知识点二：等腰三角形的判定及性质】
等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
等腰三角形的性质：
① 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；
② 等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
③ 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．
【典型例题】
1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（　　）
A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°
3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6
4．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，
要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．

6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M及A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.

【巩固练习】
1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
2．下列说法错误的是（　　）
A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
D．两个等边三角形全等
3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交
AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：
（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．

【知识点三：等边三角形的判定及性质】
判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形；
有两个叫是60°的三角形是等边三角形．
性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°．
【典型例题】
1．下列说法中不正确的是（　　）
A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等
B．有一边对应相等的两个等边三角形全等
C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等
D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
2．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（　　）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
3、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.

【变式练习】
1．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有（ 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（　　）
A．4倍 B．3倍
C．2倍 D．1倍
3．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延
长线上．若DE=DB，则CE的长为 ．
4．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，
且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数
是（　　）
A．60° B．110° C．120° D．135°
5．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（　　）
A．6 B．12 C．32 D．64
6.如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．
（1）求证：∠BQM=60°；
（2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由．

7．如图，C为线段BD上一点（不及点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD及BE交于一点F，AD及CE交于点H，BE及AC交于点G．
（1）求证：BE=AD；（2）求∠AFG的度数；（3）求证：CG=CH．

【知识点四：反证法】
反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出及定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
【基础练习】
1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（　　）
A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数
2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是（　　）
A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°
3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．

【知识点五：直角三角形】
1、直角三角形的有关知识．
l 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
l 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
l 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
【典型例题】
1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
2．使两个直角三角形全等的条件是（　　）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边及
对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（　　）
A．1 B． C． D．2
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，
若CD=2，那么BD等于（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，
则点A到边BC的距离为（　　）
A． B． C．4 D．3
7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）直线AE及BD互相垂直吗? 请证明你的结论．

8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均及小正方形的顶点重合．
（1）在图中画△BCD，使△BCD的面积=△ABC的面积（点D在小正方形的顶点上）．
（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长．

9．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．

【变式练习】
1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（　　）
A．已知斜边和一锐角 B．已知一直角边和一锐角
C．已知斜边和一直角边 D．已知两个锐角
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（　　）
A． B． C． D．
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是 ．
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=AB，则∠A等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．不能确定
5．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．
求证：CD⊥AB．

6．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠BCD是不是直角? 请说明理由．

7．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图1中，画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、、；
（2）在图2中，画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2．

【提高练习】
1．如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边及对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）
A．4 B．6 C．16 D．55
n
2
3
4
5
…
a
22－1
32－1
42－1
52－1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
3．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a，b，c及n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a= ，b= ，c= ；
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．

4．如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，则AD的长为（　　）
A．3cm B．4cm
C．5cm D．6cm
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC= ．

6．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；
（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．

7．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；   
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．

【知识点六：线段的垂直平分线】
l 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
l 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
n 三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
【典型例题】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线
DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）
A．AE=BE B．AC=BE C．CE=DE D．∠CAE=∠B
2．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB
的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于
点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的
周长为（　　）
A．7 B．14 C．17 D．20

3．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（　　）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
4．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
5．如图，AD为∠BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M，交AC于N，试说明MD∥AC．

6．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．

7．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．

【变式练习】
1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC
于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
2．如图，在△ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分线交AB于点D，
交AC于点E．△BCE的周长等于50，则BC的长为（　　）
A．2l B．22
C．23 D．24
3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
BC=13cm，则△AEG的周长为（　　）
A．6.5cm B．13cm
C．26cm D．15
4．已知：如图，△ABC的∠A＞∠ABC，边BC的垂直平分线DE
分别交AC，BC于D，E，则AD+BD及BC的关系是（　　）
A．大于 B．小于
C．等于 D．不能确定
5．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 你能画图说明吗?

6．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC－BC=2cm，求AB、BC的长．

【提高练习】
1．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点．
（1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度数；
（2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC=α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．

2．如图2，点D为线段AB及线段BC的垂直平分线的交点，∠A=35°，
则∠D等于（　　）
A．50° B．65° C．55° D．70°
3．如图3，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交
BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于（　　）
A．a+b B．a－b C．2a+b D．a+2b
4．如图有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，两直角边AC=4，
BC=8，线段DE垂直平分斜边AB，则CD等于（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的
平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（　　）
A．100° B．105° C．115° D．120°

【知识点七：角平分线】
l 角平分线上的点到角两边的距离相等。
l 角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。
n 三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。
【典型例题】
1．如图，∠POA=∠POB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，OP=13，
OD=12，PD=5，则PE=（　　）
A．13 B．12 C．5 D．1
2．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（　　）
A．三条中线交点 B．三条角平分线交点
C．三条高线交点 D．三条高线所在直线的交点
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，
若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（　　）
A．5cm B．4cm
C．3cm D．2cm
4．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．
下列结论中不一定成立的是（　　）
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
5．如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现拟建一个
货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的
地址有（　　）
A．一处 B．四处
C．七处 D．无数处
6．求作一点P，使PC=PD，且点P到AC，AB的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）

7．（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度及M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度及M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行? 若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行? 请说明理由．

8．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD及EF的位置关系，并证明你的结论．

9．如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
求证：BM=CN．

【变式练习】
1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的
一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
2．如图所示，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
垂足分别是C、D，若OE=4，∠AOB=60°，则DE= ．
3．如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到直线l1，l2的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）

4．已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：CF=EB．

5．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD? 请你证明你的结论；
（2）线段DM及AM有怎样的位置关系? 请说明理由．

【提高练习】
1．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果
PC=6，那么PD等于（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：
（1）作∠A的角平分线交BC于D点．
（2）作AD的中垂线交AC于E点．
（3）连接DE．
根据他画的图形，判断下列关系何者正确? （　　）
A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD=DE D．CD=BD
4．如下图左，在矩形ABCD中，点P在AB上，且PC平分∠ACB．若PB=3，AC=10，则△PAC的面积为 ．

5．已知：如上图右，AB∥CD，O为∠BAC、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，若两平行线间的距离为6，则OE= ．
6．2011年4月21日是重庆一中80周年校庆日，学校准备进一步美化校园，在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树如图，要求银杏树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出银杏树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．

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