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三、解答题
1．设对于事件、有，，，求、至少出现一个的概率。
解：由于从而由性质4知，，又由概率定义知，所以 ，从而由概率的加法公式得
2．设有10件产品，其中有3件次品,从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？
解：设表示：“任意抽取的5件中恰有2件次品”。则。5件产品中恰有2件次品的取法共有种，即。于是所求概率为
/
3．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（有放回）。求：
（1）第二次取出的是次品的概率；
（2）两次都取到正品的概率；
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率。
解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则
（1）第二次取到次品的概率为
（2）两次都取到正品的概率为
（3）第一次取到正品，第二次取到次品的概率为
4．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：
（1）至少取到一个正品的概率；
（2）第二次取到次品的概率；
（3）恰有一次取到次品的概率。
解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则
（1）至少取到一个正品的概率
（2）第二次取到次品的概率为
（3）恰有一次取到次品的概率为
5．一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：
（1）两件都是正品的概率；
（2）恰有一件次品的概率；
（3）至少取到一件次品的概率。
解：设表示：“取出的两件都是正品是正品”；表示：“取出的两件恰有一件次品”； 表示：“取出的两件至少取到一件次品”；则
（1）两件都是正品的概率
（2）恰有一件次品的概率
（3）至少取到一件次品的概率
6．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0.5和0.8。求在一小时中，
（1）没有一台机床需要照看的概率；
（2）至少有一台机床不需要照看的概率。
解：设表示：“没有一台机床需要照看”；表示：“至少有一台机床不需要照看“；表示：“第台机床需要照看”（=1，2，3）。则；。
7．在某城市中发行三种报纸、，经调查，订阅报的有50%，订阅报的有30%，订阅报的有20%，同时订阅及报的有10%，同时订阅及报的有8%，同时订阅及报的有5%，同时订阅、报的有3%，试求下列事件的概率：
（1）只订阅及报；（2）恰好订阅两种报纸。
解：（1）
（2）
8．一盒子中黑球、红球、白球各占50%、30%、20%，从中任取一球，结果不是红球，求：（1）取到的是白球的概率；
（2）取到的是黑球的概率。
解：设分别表示：“取到的是黑球、红球、白球”（=1，2，3），则问题（1）化为求；问题（2）化为求。由题意两两互不相容，所以，
（1）。因此由条件概率公式得
（2）
9．已知工厂生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：
（1） 该产品是次品的概率；
（2） 若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率 。
解：设表示“取到的产品是次品”；“取到的产品是工厂的”；
“取到的产品是工厂的”。则
（1） 取到的产品是次品的概率为
（2）若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率为
10．有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。
解：设表示：“由甲袋取出的球是白球”；
表示：“由甲袋取出的球是黑球”；
表示：“从乙袋取出的球是白球”。则
11．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中1/2是第一家工厂生产的，其余两家各生产1/4，又知第一、二、三家工厂生产的产品分别有2%、4%、5%的次品，现从箱中任取一件产品，求：
（1）取到的是次品的概率；
（2）若已知取到的是次品,它是第一家工厂生产的概率。
解：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。 则，且，两两互不相容，
（1） 由全概率公式得
（2）由贝叶斯公式得
=
12．三家工厂生产同一批产品，各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%，其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件，求：
（1）恰好取到不合格品的概率；
（2）若已知取到的是不合格品，它是第二家工厂生产的概率。
解：设事件表示：“取到的产品是不合格品”；事件表示：“取到的产品是第家工厂生产的”（）。
则，且，两两互不相容，由全概率公式得
（1）
（2）由贝叶斯公式得
=
13．有朋友远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5，而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求：
( 1 ) 此人来迟的概率；
( 2 ) 若已知来迟了，此人乘火车来的概率。
解：设事件表示：“此人来迟了”；事件分别表示：“此人乘火车、轮船、汽车、飞机来”（，4）。则，且，两两互不相容
（1）由全概率公式得
（2）由贝叶斯公式得
=
14．有两箱同类零件，第一箱50只，其中一等品10只，第二箱30只，其中一等品18只，今从两箱中任选一箱，然后从该箱中任取零件两次，每次取一只（有放回），试求：（1）第一次取到的是一等品的概率；（2）两次都取到一等品的概率。
解：设表示：“取到第箱零件”；表示：“第次取到的是一等品”；则
（1）
（2）
15．设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们分别以0.03、0.04、0.06的概率被损坏而发生断路，求电路发生断路的概率。
解：设表示：“第个电子元件被损坏”（=1，2，3），则有；；。依题意所求概率为
16．甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0.8，乙击中敌机的概率为0.5，求下列事件的概率：( 1 ) 敌机被击中；（2）甲击中乙击不中；（3）乙击中甲击不中。
解：设事件表示：“甲击中敌机”；事件表示：“乙击中敌机”；事件表示：“敌机被击中”。则
（1）
（2）
（3）
17．已知，，，求。
解：由于
所以
18．设，，，求。
解：由于 ，
，
而
，
，
故
。
19．设事件、相互独立，已知，。求：
（1）； （2） 。
解：由
即
解得
所以
20．设、为随机事件，且，，，求：
（1）；（2） 。
解：
（1）
（2）
21．设事件、相互独立，已知，求：
（1）； （2）。
解：由条件
即
解得，所以
（1）
（2）
22．设事件相互独立，试证明：
（1）事件相互独立；
（2）事件相互独立；
（3）事件相互独立。
证明：（1）欲证明相互独立，只需证即可。而
所以事件相互独立。
同理
（2）由于
所以事件相互独立。
（3）由于
所以事件相互独立。
23． 若，证明事件相互独立。
证明：由于，且，所以
从而有
故由独立性定义知，事件相互独立。
第二章 随机变量及其分布
三、解答题
1．设的概率分布为
0 1 2
1/3 1/6 1/2
求：（1）的分布函数；
（2）、、。
解：（1）
；
；
。
2．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都相等。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。
解：由题意知服从二项分布，从而
；
；
；
即的概率分布列为
0 1 2 3
1/8 3/8 3/8 1/8
由分布函数定义
3．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且概率都是2/5。设X表示途中遇到红灯的次数，求X的分布律、分布函数。
解：由题意知服从二项分布，从而
即的概率分布列为
0 1 2 3
27/125 54/125 36/125 8/125
由分布函数定义得
4．一台设备有三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0.10，0.20，0.30，假设各部件的状态相互独立，以表示同时需要调整的部件数，试求的概率分布。
解：设：表示：“部件需要调整”。
；
；
故的概率分布列为
0 1 2 3
0.504 0.398 0.092 0.006
5．已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数是一离散型随机变量，求的概率分布。
解：的可能取值为1，2，。 记表示“第次试验雷管发火”则表示“第次试验雷管不发火”从而得
依次类推，得消耗的雷管数的概率分布为
6．设随机变量的概率密度为，求：
（1）系数；（2）的分布函数；（3）落在区间内的概率。
解：连续型随机变量的概率密度必须满足归一性，因此由归一性及定义可求出系数及的分布函数，至于（3）可由的分布函数求得。
（1）由归一性，
解得。
（2）由连续型随机变量的定义知的分布函数为
当时，=0；
当时，
当时，
故的分布函数为
（3）所求概率为
7．设随机变量的分布函数为
求：（1）系数；
（2）落在区间（－1，1）中的概率；
（3）随机变量的概率密度。（提示：为反正切函数）
解：（1）由，解得。故得
（2）
（3）所求概率密度为
8．设随机变量的概率分布为，以表示对的三次独立重复观察中事件出现的次数，试确定常数，并求概率。
解：由归一性
所以=2。即
所以，从而
=
9．在某公共汽车站甲、乙、丙三人分别独立地等1，2，3路汽车，设每个人等车时间（单位：分钟）均服从[0，5]上的均匀分布，求三人中至少有两个人等车时间不超过2分钟的概率。
解 ：设表示每个人等车时间，且服从[0，5]上的均匀分布，其概率分布为
又设表示等车时间不超过2分钟的人数，则，所求概率为
10．在电源电压不超过200，200~240和超过240伏的三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2,假定电源电压，试求： （提示：）
（1） 该电子元件被损坏的概率
（2） 电子元件被损坏时，电源电压在200~240伏内的概率。
解：设：“电源电压不超过200伏”；：“电源电压在200~240伏”；
：“电源电压超过240伏”； ：“电子元件被埙坏”。
由于，所以
由题设,,,所以由全概率公式
由条件概率公式
11．一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1，2，2。现从袋中任意取球二次，每次取一只（有放回），以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）和的联合概率分布；
（2）关于和边缘分布；
（3）和是否相互独立？为什么？
解：（1）的所有可能取值为(1，1)、(1，2)、 (2，1)、(2，2)。
于是（，）的概率分布表为
1 2
1 1/9 2/9
2 2/9 4/9
（2）关于和的边缘概率分布分别为
1 2 1 2
1/3 2/3 1/3 2/3
（3）和相互独立。因为有
12．一袋中装有3个球，分别标有号码1、2、3，从这袋中任取一球，不放回袋中，再任取一球。用、分别表示第一次、第二次取得的球上的号码，试求：
（1）随机向量的概率分布；
（2）关于和关于的边缘概率分布；
（3）和是否相互独立？为什么？
解：（1）的取值为，由概率乘法公式可得
同理可得
此外事件，，都是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表为
1 2 3
1 0 1/6 1/6
2 1/6 0 1/6
3 1/6 1/6 0
（2）关于的边缘概率分布
1 2 3
1/3 1/3 1/3
关于的边缘概率分布
1 2 3
1/3 1/3 1/3
（3）和不相互独立，由于。
13．一口袋中装有四只球，分别标有数字1，1，2，3。现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以、分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：
（1）和的联合概率分布及关于和关于边缘分布；
（2）与是否独立？为什么？
解：（1）（，）的概率分布表为
1 2 3
1 1/6 1/6 1/6
2 1/6 0 1/12
3 1/6 1/12 0
的边缘概率分布为
1 2 3
1/2 1/4 1/4
的边缘概率分布为
1 2 3
1/2 1/4 1/4
（2）与不独立，由于
14．设为由抛物线和所围成区域，在区域上服从均匀分布，试求：（1）的联合概率密度及边缘概率密度；
（2）判定随机变量与是否相互独立。
解：如图所示，的面积为
因此均匀分布定义得的联合概率密度为 1
而
所以关于和关于的边缘分布密度分别为
（2）由于，故随机变量与不相互独立。
15．设二维随机变量（，）的概率分布为
求：（1）随机变量X的密度函数；
（2）概率。
解：（1）时，=0；
时，=
故随机变量的密度函数=
（2）
16．设随机向量的概率密度为
试求:（1）常数；（2）关于的边缘概率密度。
解：（1）由归一性
所以。
的联合概率密度为
（2）关于的边缘概率密度为
即
同理可求得关于的边缘分布密度为
17．设随机变量（，）具有概率密度
，
求（1）常数C；（2）边缘分布密度。
解：（1）由于，故
1=
所以=1，即
（2） ，即
，即
18．设和相互独立，下表列出了二维随机变量(，)联合分布律及关于和关于的边缘分布律的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。
1/8
1/12
1/6
1
解：
1/12
1/8
7/24
1/2
1/12
1/8
7/24
1/2
1/6
1/4
7/12
1
第三章 随机变量的数字特征
三、解答题
1．设随机变量，求：
（1） 常数 ；（2）；（3）。
解：（1）由归一性 1=
从而得，；
（2）=
（3）由于
=
于是
2．设的分布密度为，求：数学期望和方差。
解：=
=
于是
3．已知随机变量的分布列如下，
0 1 2
0.3 0.2 0.5
试求：（1）、；（2）；（3）的分布函数。
解：
（1）
（2）经计算得的概率分布列
0
0.8 0.2
（3）
4．设的概率分布为
求：和。
解：由于在有限区间[1，5]上服从均匀分布，所以；又由于服从参数为4的指数分布，所以=、， 因此由数学期望性质2、性质3及重要公式得
。
5．已知、分别服从正态分布和，且与的相关系数，设，求：
（1）数学期望，方差；
（2）与的相关系数。
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得
（2）
从而有与的相关系数
6．设随机变量、独立同服从参数为泊松分布，，，求与的相关系数。
解：由条件、独立同服从参数为泊松分布，所以，因此
Cov
于是与的相关系数
7．设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日内无故障可获利8万元，发生一次故障仍获利4万元，发生两次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润是多少。
解：设表示生产利润,表示每周发生故障的次数，则是的函数，而，其概率分布为
可能取值为－2，0，4，8。
8．设与独立同分布，已知的概率分布为，又设，。求：（1）、；（2）随机变量的协方差。
解：（1）的概率分布为
1 2 3
1 1/9 2/9 2/9
2 0 1/9 2/9
3 0 0 1/9
关于、的边缘概率分布分别为
1 2 3
1/9 3/9 5/9
1 2 3
5/9 3/9 1/9
从而得
（2）
Cov()=
9．游客乘电梯从低层到电视塔顶层观光，电梯每个整点的第5分钟、25分钟、55分钟从低层起行。假设一游客在早八点的第分钟到达低层候梯处，且在[0，60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。
解：已知在[0，60]上均匀分布，其概率分布为
设表示游客等候电梯时间（单位：分），则
因此
+
第四章随机变量及其分布
三、解答题
1．已知随机变量的概率分布为
1 2 3
0.2 0.3 0.5
试利用切比雪夫不等式估计事件的概率。
解：依题意，，，故由切比雪夫不等式知，所求事件的概率为
第五章随机变量及其分布
三、解答题
1．设为的一个样本，
其中为未知参数，求的极大似然法估计量。
解：设为观测值，则构造似然函数
令
解得的极大似然估计量为
2．设总体的分布列为
1 0
为的一个样本，求的极大似然估计。
解：设为观测值，的分布律为
（）
于是似然函数
令，解得，因此的极大似然估计为
3．设为总体的一个样本，且的概率分布为。为来自总体的一个样本观察值，求的极大似然估计值。
解：构造似然函数
令，解得，因此的极大似然估计值为
。
4．设为总体的一个样本，且服从参数为的二项分布，求的极大似然估计量。
解：设为观测值，则构造似然函数
令，解得，
因此的极大似然估计量为
5．设为来自总体的样本，为样本均值，试问是否为总体方差的无偏估计量？为什么？
解：不是总体方差的无偏估计量。
设，，因为
=
=
=
=
6．设为来自总体X 的一个样本，且存在，验证统计量(1)、(2)都是的无偏估计，并指出哪一个较好。
（1）； （2）。
解：（1）由于
所以是的无偏估计；
（2）
所以是的无偏估计。
而
显然，故较好。
7．设，其中是来自总体的简单随机样本。试问当、各为何值时，统计量服从分布，并指出其自由度。
解：依题意，要使统计量服从分布，则必需使及服从标准正态分布。
由相互独立的正态随机变量的性质知
从而解得1/20。
从而解得1/100。
故1/20，1/100时，统计量服从分布。且自由度为2。
8．某车间生产滚珠，从长期实践中知，滚珠直径可以认为服从正态分布，其方差为0.05，从某天的产品中随机抽取6个，量得直径（mm）如下：14.70, 15.21, 14.90, 14.91, 15.32, 15.32。试求的置信度为0.95的置信区间。
解：依题意取样本函数
对于给定的=0.05，由
求得=1.96，又，，
于是得的置信度为0.95的置信区间是）
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