线性代数习题答案证明题.doc

8、试题内容：
设为矩阵，为矩阵，,若，证明的列向量组线性无关.
9、答案内容：
证明:为矩阵,为矩阵,且,为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有
.
又

的列向量组线性无关.
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8、试题内容：
设为个线性无关的维列向量，与均正交，证明：线性相关.
9、答案内容：
证明:分别与均正交,

令,,
线性相关.
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8、试题内容：
已知阶实矩阵为正交矩阵，为维正交单位向量组，证明：也是维正交单位向量组.
9、答案内容：
证明:是阶正交矩阵,则有
是维正交向量组

是正交向量组.
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8、试题内容：
设是的一个基础解系，不是的解，证明：线性无关.
9、答案内容：
证明:假设.这与不是的解矛盾

即线性无关.
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8、试题内容：
设是矩阵，是矩阵，为矩阵，求证：若可逆且的行向量的转置都是的解，则的每个行向量的转置也都是该方程组的解.
9、答案内容：
证明：设的行向量组为（I）
设的行向量组为（II）
则向量组（I）与（II）均为维向量组
可逆
令，则有

向量组（I）可以由（II）线性表示
向量组（II）是的解
向量组（I）也是的解

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8、试题内容：
设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是其导出组的一个基础解系，是的一个解，证明：线性无关.
9、答案内容：
证明：假设线性相关，
是的基础解系，
是线性无关的.
由以上可得可以由线性表示.
则是的解,与是的解矛盾.
假设不成立,即线性无关.
10、评分细则：假设线性相关,由题设推得可以由线性表示(3分);所以是的解与是的解矛盾(3分);所以线性无关(2分).
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8、试题内容：
设为的伴随矩阵，若为正定的，试证及均为正定的.
9、答案内容：
证明：
∵为正定矩阵，
∴的特征值全为正数。
设的特征值为，则有

8、试题内容：
若为实对称矩阵，证明：当充分大时，为正定矩阵.
9、答案内容：
证明：

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8、试题内容：
设为阶实可逆矩阵，为单位矩阵，,证明：为正定的.
9、答案内容：
证明：

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若3阶实对称矩阵满足，为单位矩阵.试证:为正定矩阵.
9、答案内容：
证明：
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