线性代数证明题.doc

1、试题序号：321
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵秩的性质
8、试题内容：
设为一个阶方阵，为同阶单位矩阵且，证明：.
9、答案内容：
证明:

10、评分细则：由题设推出得2分;由矩阵秩的性质推出
得2分;推出得2分;因而推出得2分.
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1、试题序号：322
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点： 第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交矩阵的特征值
8、试题内容：
设为一个阶正交矩阵，且.证明：是的特征值.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：推出(2分)(2分)(2分)
推出并说明是的特征值(2分).
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1、试题序号：323
2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：二次型的正定性
8、试题内容：
已知均为阶正定矩阵，试证明：分块矩阵也为正定矩阵.
9、答案内容：

10、评分细则：由题设中条件推出是对称矩阵(2分);令

(2分);由推出中至少有一个不为零

(2分).则有,推出为正定二次型(2分).

因而有为正定矩阵(2分).
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1、试题序号：324
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：二次型的正定性
8、试题内容：
设均为阶正定矩阵，试证明：也为正定矩阵.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：由题设中条件推出为对称矩阵(2分);令(2分);(2分);推出为正定二次型(2分);因而有为正定矩阵(2分).
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1、试题序号：325
2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系
8、试题内容：
若向量可由向量组线性表示，但不能由线性表示，试证：可由线性表示.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：由题设中条件令(2分);假设推出不能由线性表示矛盾(2分);可以由,线性表示(4分).
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1、试题序号：326
2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量的线性关系与矩阵的秩
8、试题内容：
如果向量组线性无关，试证：向量组线性无关.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：令,(1分);由题设条件推出(1分);

令推出(2分);推出(2分)

又线性无关(2分).
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1、试题序号：327
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：奇异矩阵
8、试题内容：
已知矩阵，且证明：为奇异矩阵.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：由题设中条件推出(1分);推出(3分);推出(2分);推出为奇异矩阵(2分).
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1、试题序号：328
2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩
8、试题内容：
设维基本单位向量组可由维向量组线性表示，证明：线性无关.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：令(2分);由题设条件推出存在一个阶矩阵(2分);使得(4分).
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1、试题序号：329
2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩
8、试题内容：
设线性无关，可由线性表示，不可由线性表示，证明：线性无关（其中为常数）.
9、答案内容：
证明:
，
.
假设,则有
线性相关,因而与不能由线性表示矛盾.
,
线性无关.

10、评分细则：由题设中条件推出(2分);假设由题设推出能由线性表示,与题设矛盾(2分);推出(3分);推出线性无关(1分).
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1、试题序号：330
2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组与矩阵的秩
8、试题内容：
设为矩阵，为矩阵，,若，证明的列向量组线性无关.
9、答案内容：
证明:为矩阵,为矩阵,且,为单位矩阵.由矩阵秩的性质,则有
.
又

的列向量组线性无关.

10、评分细则：由题设推出(2分);又有题设中(2分);(2分);所以的列向量组线性无关(2分).
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1、试题序号：331
2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与矩阵的秩
8、试题内容：
设为个线性无关的维列向量，与均正交，证明：线性相关.
9、答案内容：
证明:分别与均正交,

令,,
线性相关.
10、评分细则：令(1分);由题设中条件推得
(2分);(1分);若(1分);线性相关(1分);若(1分),所以线性相关(1分).
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1、试题序号：332
2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：正交向量组
8、试题内容：
已知阶实矩阵为正交矩阵，为维正交单位向量组，证明：也是维正交单位向量组.
9、答案内容：
证明:是阶正交矩阵,则有
是维正交向量组

是正交向量组.
10、评分细则：由题设中条件推出(2分);(2分);且可逆,推得(2分);推得是正交向量组(2分).
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1、试题序号：333
2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的秩与方程组的解
8、试题内容：
设是的一个基础解系，不是的解，证明：线性无关.
9、答案内容：
证明:假设.这与不是的解矛盾

即线性无关.
10、评分细则：由题设推出(2分);假设,由题设中条件推出可以由线性表示,与不是的解矛盾(2分);(2分);线性无关(2分).
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1、试题序号：334
2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：矩阵的秩与方程组的解
8、试题内容：
设为阶矩阵，若只有零解，证明：方程组也只有零解，其中为正整数.
9、答案内容：
证明:只有零解
为阶矩阵,
可逆
则
即为可逆矩阵
只有零解.
10、评分细则：由题设推出可逆(3分);推出(2分);推得只有零解(3分).
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1、试题序号：335
2、题型：证明题
3、难度级别：4
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：10分钟
7、试题关键字：向量组的秩,矩阵的秩及方程组的解
8、试题内容：
设是矩阵，是矩阵，为矩阵，求证：若可逆且的行向量的转置都是的解，则的每个行向量的转置也都是该方程组的解.
9、答案内容：
证明：设的行向量组为（I）
设的行向量组为（II）
则向量组（I）与（II）均为维向量组
可逆
令，则有

向量组（I）可以由（II）线性表示
向量组（II）是的解
向量组（I）也是的解
10、评分细则：令的行向量组(I),的行向量组为(II)(1分);(2分);

推得,(2分)
所以(I)可以由(II)线性表示(2分);由(II)是的解推出(I)也是的解(1分).
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1、试题序号：336
2、题型：证明题
3、难度级别：2
4、知识点：第四章 向量组的线性相关性
5、分值：8
6、所需时间：6分钟
7、试题关键字：向量组的线性关系与方程组的基础解系
8、试题内容：
设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是其导出组的一个基础解系，是的一个解，证明：线性无关.
9、答案内容：
证明：假设线性相关，
是的基础解系，
是线性无关的.
由以上可得可以由线性表示.
则是的解,与是的解矛盾.
假设不成立,即线性无关.
10、评分细则：假设线性相关,由题设推得可以由线性表示(3分);所以是的解与是的解矛盾(3分);所以线性无关(2分).
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1、试题序号：337
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定矩阵的逆矩阵与伴随矩阵
8、试题内容：
设为的伴随矩阵，若为正定的，试证及均为正定的.
9、答案内容：
证明：
∵为正定矩阵，
∴的特征值全为正数。
设的特征值为，则有

10、评分细则：设的特征值为,由题设推得(2分);由的特征值为推得的特征值为(1分),则有为正定矩阵(2分);正定(1分)的
特征值为正定矩阵(2分).
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1、试题序号：338
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定矩阵
8、试题内容：
若为实对称矩阵，证明：当充分大时，为正定矩阵.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：由题设推得为实对称矩阵(2分);说明均为的特征值(2分);当为最大特征值,推得时,的特征值全为正数(2分);所以充分大时, 为正定矩阵(2分).
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1、试题序号：339
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第五章 相似矩阵及二次型
5、分值：8
6、所需时间：8分钟
7、试题关键字：正定二次型
8、试题内容：
设为阶实可逆矩阵，为单位矩阵，,证明：为正定的.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：由题设推得为对称矩阵(2分);令(2分);可逆,(2分);为正定二次型为正定矩阵(2分).
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1、试题序号：340
2、题型：证明题
3、难度级别：3
4、知识点：第二章 矩阵及其运算
5、分值：8
6、所需时间：7分钟
7、试题关键字：求解逆矩阵
8、试题内容：
若3阶实对称矩阵满足，为单位矩阵.试证:为正定矩阵.
9、答案内容：
证明：

10、评分细则：由题设推得(2分)(2分)的特征值为1,2,3(2分);所以为正定矩阵(2分).
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