线性代数复习——计算或应用题.doc

一
21. 设线性无关，证明，，也线性无关。
22. 计算行列式。
23. 利用逆矩阵解矩阵方程。
24. 已知，求a的值，使得2。
25. 求向量组，，， 的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
26. 求矩阵A=的特征值与特征向量。
27. 讨论当l取何值时，齐次线性方程组有非零解，并在有非零解时求其通解。
参考答案：21. 如果 ，
，
于是 ，
由线性无关知
此方程组只有零解，因此线性无关。
22.= ===- =-3
23. 故

24.
当a=0时，2。
25. 记，
向量组的秩．所以是向量组的一个极大线性无关组，且=+，=－。
26. 由特征方程 =0
得A的特征值。
对于特征值，解方程组，
求得一个基础解系，故A的属于的全部特征向量为，为任意非零数。
对于特征值，解方程组，即，
求得一个基础解系，故A的属于的全部特征向量为，为任意非零
数。
27. 对增广矩阵作初等行变换得
,当l=-3时, r(A)=2<3, 方程组有非零解。此时对应方程组为 ，基础解系为=(-1, 1, 1)T ，所求通解为， k为任意常数。

二
21. 设l1, l2为n阶方阵A的两个互不相等的特征值, 与之对应的特征向量分别为X1, X2, 证明X1+X2不是矩阵A的特征向量。
22. 设函数, 求方程f(x)=0的根。
23. 解矩阵方程。
24. 若向量组1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 3)T, 3=(1, 3, t)T线性相关,求（1）t的值；（2）将3表示为1和2的线性组合。
25. 求方程组的一个基础解系和通解。
26. 已知二次型f =2x1x2+2x2x3+2x3x1. (1)求出二次型f 的矩阵A的特征值; (2)写出二次型f 的标准形。
27. 当l取何值时, 方程组有唯一解，并求解。

参考答案:
21. 假设X1+X2是矩阵A的属于l特征向量，即A(X1+X2)= =l（X1+X2）
因为 AX1=l1X1， AX2=l2X2，
所以 A(X1+X2)=AX1+AX2=l1X1+l2X2，
消减 （l-l1）X1+（l-l2）X2=O
因为属于不同特征值的特征向量线性无关，所以X1， X2线性无关，
得l-l1=l-l2=0既l=l1=l2，矛盾。
22.
，
得方程f(x)=0的根为x=±1, x=±2。
23. 因为 , , 所以

=
24. (1)记，因为 因为向量组线性相关充分必要条件是，所以当t=5时,向量组线性相关)
（2）由x11+x22=3, 因为增广矩阵=
得方程组的解为x1=-1, x2=2,从而3=-1+22。
25. 方程组的一个基础解系为X1=(-7/2, 1/2, 1)T,
方程组的通解X=k X1 (k为任意常数)。
26. (1) 二次型f 的矩阵为
因为,
所以A的特征值为 l1=l2=-1, l3=2。
(2) 二次型f化为标准形为
27. 对增广矩阵进行初等行变换得

当l=3或l=1时r(A b)=r(A)=3, 方程组有唯一解；
当l=3时，解为；当l=1时，解为。

三
21. 若Ak=O(k是正整数), 求证: (E-A)-1=E+A+A2+ +++ +Ak-1。
22.计算行列式。
23. 。
24. 已知a=(1 2 3), , 设A=aTb, 求A及An
25. 求向量组，，，的秩和一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。
26. 求解线性方程组的通解。
27. 判断矩阵是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。

参考答案:
21. 由Ak=O, 得 E-Ak=E-O=E,
而 E-Ak=(E-A)(E+A+A2+ +++ +Ak-1),
所以 (E-A)(E+A+A2+ +++ +Ak-1)=E,
因此(E-A)可逆, 且 (E-A)-1=E+A+A2+ +++ +Ak-1
22. =
===-
23. = ,
=
24. baT=3(baT是个数),
An=(aTb)(aTb) ××× (aTb)=aT(baT)(baT) ××× (baT)b =aT(baT)n-1b

25. 记，

=C，
所以向量组的秩；
因为是列向量组的一个极大线性无关组，所以是向量组的一个极大线性无关组，(2分)
并且 ，。
26. 对增广矩阵作初等行变换得
,
对应的方程组为
取x3=0，得方程组的一个特解为=(-8, 13, 0, 2)T ;
取x3=1，得导出组的一个基础解系=(-1, 1, 1, 0)T ，
所求方程组的通解为 ，其中为任意常数。
27. 由 =0，
得A的特征值，。
对，解方程组，得其一个基础解系；
对，解方程组，得其一个基础解系；
因为矩阵A有两个线性无关的特征向量，所以A可相似对角化．
取 ， 则==。
四
21. 设方程组：，，，，．
证明方程组有解的充分必要条件是。
22. 计算行列式。
23. 设, , 满足AX=2X+B, 求X。
24. 设，，，， (1)验证线性无关；（2）将用线性表示。
26. 求矩阵的特征值和特征向量。
27. 设, 试讨论k为何值时,（1））r(A)=1；（2） r(A)=2；（3）r(A)=3。

参考答案:
21. 方程组的增广矩阵
因为方程组有解的充分必要条件是r(A b)=r(A) 。所以方程组有解的充分必要条件是
。
22. ==10
=10=20 =20=160
23. (A-2E)X=B,因为 , ,
所以 X=(A-2E)-1B
24. 记，
因为，或者只有零解，所以线性无关。
或因为，所以线性无关。
由 ，
即 =，
得惟一解：．故 2。
25.
方程组的一个基础解系为X1=(1/2,0,-1/2,1)T,
方程组的通解X=k X1 (k为任意常数)。
26. 由 =0，
得A的特征值（二重），。
对，将方程组化简为 ，
它的一个基础解系为 ， 。
A的属于的全部特征向量为+(,不全为零)。
对，解方程组，即
它的一个基础解系为。
A的属于的全部特征向量为()。
27. =B 。
(1)当k=1时，B =,1; (2)当k=-2时，B =,2;
(3) 当时，，3。

五
21. 如果方阵A满足，则A的特征值只有0或者1。
22. 计算行列式。
23. 已知, 其中,, 求，A11。
24. 设3阶方阵A, B, C满足方程 C(2A-B)=A, 求矩阵A, 其中
, 。
25. 求向量组1= (-1, 1, 4)T, 2=(-2, 1, 5)T, 3=(-4，2, 10)T, 4= (1, 0, -1)T的一个极大无关组, 并把其余向量用极大无关组线性表示。
26. 已知二次型. (1)求出二次型f 的
矩阵A的特征值; (2)写出二次型f 的标准形。
27. 讨论a、b为何值时非齐次线性方程组有无穷多解, 并求其通解。
参考答案:
21. 设为A的任一特征值，为A的属于的特征向量，即，
所以 ，，而，故，得=0或1，因此A的特征值只有0或者.
2
23. ，A=
A2.=PΛ2P-1==
A11==
==
24. (2C-E)A=CB, CB=， (2C-E)可逆并且(2C-E)-1=
得A=(2C-E)-1(CB)=
25. 因为
所以向量组的秩r()=2．因为线性无关, 所以是一个极大无关组.
并且3=22，4=1-2。
26. 二次型的矩阵为,
因为
所以A的特征值为l1=2, l2=5, l3=-1. (2) 二次型f的标准形为
27. 对增广矩阵进行初等行变换得
,
当a=-2且b=-1时, r(A)=r(A, b)=2<3, 方程组有无穷多组解,
此时 , 对应的方程组为
取x3=0，得方程组的一个特解为=(3, 1, 0)T ;
取x3=1，得导出组的一个基础解系=(-2, -1, 1)T，
所求方程组的通解为，其中为任意常数。

六
21. 设方阵A满足A2-3A+E=O, 证明(A- 2E)可逆, 并求(A- 2E)-1。
22. 计算n阶行列式。
23. 解矩阵方程AX+B=X, 其中, 。
24. 求一个非零向量，使得与向量，都正交。
25. 确定的值，使方程组有无穷多个解，求出它的通解。
26. 求矩阵的特征值及特征向量。
27. 设，，，， 能否用线性表示？若能，表示法是否惟一？

参考答案:
21. 由A2-3A+E=O可知A2-3A+2E=E,
即 (A-2E)(A-E)=E, 所以(A- 2E)可逆, 且(A- 2E)-1=A-E
22.把第二列加到第一列，再把第三列加到第一列一直到把第n列加到第一列，得
= =
23. 由AX+B=X得 (E-A)X=B,
因为 ,
所以
24. 设=，由题意 ，，
即
方程组的基础解系为．(2分)取即可。
25. ,
当a=1时，R(A)=R(A, b)=1<3, 方程组有无穷多解。
当a=1时，(A, b)
取x2=x3=0，得方程组的一个特解为=(1, 0, 0)T ;分别取x2=1，x3=0，和x2=0，x3=1，得导出组的一个基础解系
=(-1, 1, 0)T ，=(-1, 0, 1)T .方程组的通解为，其中为任意常数。
26. 由特征方程 =0
得A的特征值．
对于特征值，解方程组，即 -
求得一个基础解系，故A的属于的全部特征向量为，为任意非零数。
对于特征值，解方程组，即-2，
求得一个基础解系，故A的属于的全部特征向量为，为任意非零数。
27. 由 ，
即 =，
得惟一解：．
故 2，(1分)且表示法惟一。

七
21. 如果向量组a1, a2, ×××, as线性无关, 证明向量组a1, a1+a2, ××× , a1,+a2+ ××× +as线性无关。
22. 设, 求x。
23. 设，且AB+E=A2+B，求B。
24. 设向量组1=(1, 1, 3, 1)T, 2=(3, -1, 2, 4)T, 3=(2, 2, 7, -1)T,求向量组 的秩，并问向量组是线性相关还是线性无关？3能否由向量组1, 2,线性表示?
25. 取何值时，齐次线性方程组有非零解，并求其通解。
26. a取何值时矩阵的秩2？
27. 判断矩阵是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵使之对角化。

参考答案:
21. 设 x1a1+x2(a1+a2)+ ××× +xs(a1,+a2+ ××× +as)=o,
则 (x1+x2+ ××× +xs)a1+(x2+ ××× +xs)a2+ ××× +xsas=o,
因为a1, a2, ×××, as线性无关, 所以

显然此方程只有零解, 故向量组a1, a1+a2, ××× , a1,+a2+ ××× +as线性无关。
22.
得 x=-2, 或x=1。
23. AB+E=A2+B, AB-B=A2-E, (A-E)B=(A-E)(A+E),
因为A-E可逆，所以 (A-E)-1(A-E)B= (A-E)-1(A-E)(A+E),
B=A+E
24. 记，对A施行初等变换, 得
,
== 3,(2分)向量组是线性无关，3不能由向量组1, 2,线性表示。
25.
当a=时，r(A)=2<3，方程组有非零解.或由系数行列式等于0，得a=时方程组有非零解.，基础解系为，所求通解为，k为任意常数。
26. 对矩阵A作初等变换

当a=1时，2。
27. 由 =0，
得A的特征值，．
对，解方程组，得其一个基础解系．
对，解方程组，得其一个基础解系．
因为矩阵A有两个线性无关的特征向量，所以A可相似对角化．
取 ，并且==。

八
21. 设为n维非零列向量，且， E为n阶单位矩阵，则为正交矩阵。
22. 计算行列式D=。
23. 已知，其中，=，计算，。
24. 求向量组1=(1, 0, 1)T, 2=(1, 1, 1) T, 3=(0, -1, -1) T, 4=(3, 5, -6) T的一个极大线性无关组；并将其他向量表示为极大线性无关组的线性组合。
25. 求方程组的一个基础解系和通解。
26. 求矩阵A=的特征值与特征向量。
27.讨论当 a取何值时=为正定二次型。

参考答案:
21. 证明 因为 = =
所以为正交矩阵。
22. 第四行减第三行，然后第三行减第二行，得D=，由行列式的性质知：D=0 23. ， A=
==== =====E
24. 所以向量组的秩r()=3．又r()=3，所以是一个极大线性无关组。
并且4=-111+142+93
25. 对系数矩阵作初等行变换得

原方程组与方程组同解。
当(x3, x4)=(1, 0)时(x1, x2)=(-2, 1),当(x3, x4)=(0, 1)时(x1, x2)=(1, -1); 方程组的基础解系为
X1=(-2, 1, 1, 0)T, X2=(1, -1, 0, 1)T,
方程组的通解为 ，其中为任意常数。
26. 由特征方程 =0
得A的特征值．
对于特征值，解方程组，求得一个基础解系，故A的属于的全部特征向量为，为任意非零数．
对于特征值，解方程组，即，求得一个基础解系，故A的属于的全部特征向量为，为任意非零数。
27. 二次型的矩阵为,
要使A为正定, 其各阶顺序子式要大于零, 即
>0, >0,
>0,
解得，即当时, 二次型为正定。