广东工业大学线性代数试题A卷2(含答案).doc

广东工业大学考试试卷 ( A )

课程名称: 线性代数 试卷满分 100 分
考试时间: 2010 年 1 月 5 日 (第 19 周 星期 二 )
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
评卷得分

评卷签名

复核得分

复核签名

一、 填空题（每小题4分，共20分）：
1、 函数中,的系数为 .
2、 设，，则 .
3、 设是矩阵，且，而，则 .
4、 设矩阵与相似，则 .
5、 若为可逆阵的特征值，则的一个特征值为 .
二、 选择题（每小题4分，共20分）：
1、下列命题正确的是（ ）。
（A） 若，则可逆且
（B） 方阵的行列式阶子式

学 院： 专 业： 学 号： 姓 名：

装 订 线

（C）若方阵不可逆，则都不可逆
（D）若阶矩阵或不可逆，则必不可逆
2、设为阶矩阵，为其伴随矩阵，则( ).
（A） （B） （C） （D）
3、若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( ).
(A) 必有无穷多解； (B) 必有非零解；
(C) 仅有零解； (D) 一定无解.
4、设有向量组，，，与，则向量组的极大线性无关组是（ ）
（A）； (B) ；
(C) ； (D) .
5、设、为n阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误的是（ ）
（A）有可逆矩阵、 使得（B）有可逆矩阵 使得
（C）有可逆矩阵 使得 （D）有正交矩阵 使得
三、计算行列式（6分）：
设，计算的值，其中是代数余子式.
四、（10分）设矩阵满足关系，其中，求.
五、（10分）设线性方程组为，问：、取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 在有无穷多解时求出其通解。
六、（10分）设是的一个基础解系，不是的解，即，
讨论：向量组线性相关还是线性无关？.
七、（10分）设，问A能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵，使得为对角阵.
八、（共14分）证明题：
1、（6分）若为阶幂等阵（），求证：＝.
2、（8分）设是实矩阵,是维实列向量，
证明：（1）秩； （2）非齐次线性方程组有解.

广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A )

课程名称: 线性代数 。
考试时间: 2010 年 1 月 5 日 (第 19 周 星期 二 )
三、 填空题（每小题4分，共20分）：
1、-2; 2、 3、2； 4、280； 5、
四、 选择题（每小题4分，共20分）：
1
2
3
4
5
D
C
B
B
D
五、 解：

评分说明：本题方法不唯一，但都要求计算必须有过程，结果不对的酌情给分。
四、 解：由已知，…………………………………………2分
因为………………………8分

故 …………………………………………10分
评分说明：本题方法不唯一，若结果不对的根据步骤酌情给出。
五、解： …………………3分
当－2时，方程组有唯一解……………………………………………5分
当－2，－1时，方程组无解 ……………………………………7分
当－2，－1时，＝2 < 3，方程组有无穷多组解,
其通解为，为任意常数。…………………10分
六、解：设有使得
， (1)
, (2)………4分
若，则可由线性表示，
是的解,与已知矛盾.故必有，
从而，………………………………………………………7分
由是的一个基础解系知线性无关，
，，
因此向量组线性无关.…………………………………10分
七、解：由，
得全部特征值为：，………………………………………4分
将代入得方程组
解之得基础解系 …………6分
同理将代入得方程组的基础解系………7分
由于，所以线性无关，
令 ，则有：………10分
八、(14分)
1、 证明：，
…………………………………………3分
又

故…………………………………………6分
2、 证明：（1）因为若，则；
而当时，由
，得。
因此齐次线性方程组与，同解，
故秩。…………………………………………4分
（2）因为秩

因此，故非齐次线性方程组有解。
………………………………………8分

广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 7 页