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不等式讲义
最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x)<a；
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
2．含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？
提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.
3．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
4．柯西不等式
(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则()()≥(ibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．( )
(2)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )
(3)|ax＋b|≤c(c>0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( )
(4)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为Ø.( )
(5)若实数x、y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
2．不等式|2x－1|－x<1的解集是( )
A．{x|0<x<2} B．{x|1<x<2}
C．{x|0<x<1} D．{x|1<x<3}
[解析] 解法一：x＝1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.
解法二：令f(x)＝则f(x)<1的解集为{x|0<x<2}．
[答案] A
3．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是
( )
A．|a＋b|＋|a－b|>2 B．|a＋b|＋|a－b|<2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小
[解析] |a＋b|＋|a－b|≤|2a|<2.
[答案] B
4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为( )
A．1 B．
C. D．2
[解析] (＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤ (12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
∴(＋＋)2≤3.
故＋＋的最大值为.故应选C.
[答案] C
5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] 利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为－2≤a≤4.
[答案] －2≤a≤4
考点一 含绝对值的不等式的解法
解|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型不等式，其一般步骤是：
(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根．
(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间．
(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集．
(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．
解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号．
(1)(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，1)
C．(1,4) D．(1,5)
(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax－2|<3的解集为，则a＝________.
[解题指导] 切入点：“脱掉”绝对值符号；关键点：利用绝对值的性质进行分类讨论．
[解析] (1)当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；
当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；
当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．
综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.
(2)∵|ax－2|<3，∴－1<ax<5.
当a>0时，－<x<，与已知条件不符；
当a＝0时，x∈R，与已知条件不符；
当a<0时，<x<－，又不等式的解集为，故a＝－3.
[答案] (1)A (2)－3
用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
对点训练
已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－3时，f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2<x<3时，f(x)≥3无解；
当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；
所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
(2)f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式
对于形如|x－a|＋|x－b|>c或|x－a|＋|x－b|<c的不等式，利用绝对值的几何意义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性．
|x－a|＋|x－b|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和，应注意x的系数为1.
(1)(2014·重庆卷)若不等式|x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
(2)不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，则实数k的取值范围是__________．
[解题指导] 切入点：绝对值的几何意义；关键点：把恒成立问题转化为最值问题．
[解析] (1)∵|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x－2)|＝3，
∴a2＋a＋2≤3，解得≤a≤.
即实数a的取值范围是.
(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P，A，B，则原不等式等价于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．
解法二：令y＝|x＋1|－|x－2|，
则y＝
要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．
[答案] (1) (2)(－∞，－3)
解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f(x)<a恒成立⇔a>f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a<f(x)min.
对点训练
(2015·唐山一模)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a，a∈R，g(x)＝|2x－1|.
(1)若当g(x)≤5时，恒有f(x)≤6，求a的最大值；
(2)若当x∈R时，恒有f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
[解] (1)g(x)≤5⇔|2x－1|≤5⇔－5≤2x－1≤5⇔－2≤x≤3；f(x)≤6⇔|2x－a|≤6－a⇔a－6≤2x－a≤6－a⇔a－3≤x≤3.
依题意有，a－3≤－2，a≤1.
故a的最大值为1.
(2)f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋|2x－1|＋a≥|2x－a－2x＋1|＋a＝|a－1|＋a，
当且仅当(2x－a)(2x－1)≤0时等号成立．
解不等式|a－1|＋a≥3，得a的取值范围是[2，＋∞)．
考点三 不等式的证明与应用
不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，既不仅要搞清是什么，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径．
应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件．
(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：
(1)若ab>cd，则＋>＋；
(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
[解题指导] 切入点：不等式的性质；关键点：不等式的恒等变形．
[证明] (1)因为(＋)2＝a＋b＋2，(＋)2＝c＋d＋2，
由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(＋)2>(＋)2.
因此＋>＋.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.
由(1)得＋>＋.
②若＋>＋，则(＋)2>(＋)2，即
a＋b＋2>c＋d＋2.
因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因此|a－b|<|c－d|.
综上，＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．
分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．
对点训练
(2014·新课标全国卷Ⅱ)设a、b、c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
[证明] (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c，
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
所以＋＋≥1.
———————方法规律总结————————
[方法技巧]
1．绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号．
2．绝对值不等式在求与绝对值运算有关的最值问题时需灵活运用，同时还要注意等号成立的条件．
3．在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧．如在使用柯西不等式时，要注意右边为常数．
[易错点睛]
1．对含有参数的不等式求解时，分类要完整．
2．应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件．
课时跟踪训练(七十)
一、填空题
1．不等式|2x－1|<3的解集为__________．
[解析] |2x－1|<3⇔－3<2x－1<3⇔－1<x<2.
[答案] (－1,2)
2．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝__________.
[解析] ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
[答案] 2
3．不等式|2x＋1|＋|x－1|<2的解集为________．
[解析] 当x≤－时，原不等式等价为－(2x＋1)－(x－1)<2，即－3x<2，x>－，此时－<x≤－.当－<x<1时，原不等式等价为(2x＋1)－(x－1)<2，即x<0，此时－<x<0.当x≥1时，原不等式等价为(2x＋1)＋(x－1)<2，即3x<2，x<，此时不等式无解，综上，原不等式的解为－<x<0，即原不等式的解集为.
[答案]
4．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是__________．
[解析] ∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k<1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k<1.
[答案] (－∞，1)
5．(2015·西安统考)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．
[解析] |x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，
故a≤8.
[答案] (－∞，8]
6．(2015·重庆卷)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝__________.
[解析] 当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；当a<－1时，f(x)＝f(x)min＝f(a)＝－3a－1＋2a＝5，解得a＝－6；当a>－1时，f(x)＝f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.
[答案] －6或4
7．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是__________．
[解析] ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝
∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，
∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.
[答案] (－∞，－3]∪[3，＋∞)
8．已知关于x的不等式|x－a|＋1－x>0的解集为R，则实数a的取值范围是__________．
[解析] 若x－1<0，则a∈R；若x－1≥0，则(x－a)2>(x－1)2对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，即(a－1)[(a＋1)－2x]>0对任意的x∈[1，＋∞)恒成立，所以(舍去)或对任意的x∈[1，＋∞]恒成立，解得a<1.综上，a<1.
[答案] (－∞，1)
9．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为__________．
[解析] ∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]
≥2＝18，
∴＋＋≥2，∴＋＋的最小值为2.
[答案] 2
10．(2014·陕西卷)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则 的最小值为________．
[解析] 由柯西不等式，得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，
即5(m2＋n2)≥25，
∴m2＋n2≥5，当且仅当an＝bm时，等号成立．∴的最小值为.
[答案]
11．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为__________．
[解析] ∵|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|
＝(|1－x|＋|x|)＋(|1－y|＋|1＋y|)
≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝1＋2＝3，
当且仅当(1－x)·x≥0，(1－y)·(1＋y)≥0，即0≤x≤1，－1≤y≤1时等号成立，
∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.
[答案] 3
12．若不等式|x＋1|－|x－4|≥a＋，对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] 只要函数f(x)＝|x＋1|－|x－4|的最小值不小于a＋即可．由于||x＋1|－|x－4||≤|(x＋1)－(x－4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x－4|≤5，故只要－5≥a＋即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋整理，得a2＋5a＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．
[答案] (－∞，－4]∪[－1,0)
二、解答题
13．已知不等式2|x－3|＋|x－4|<2a.
(1)若a＝1，求不等式的解集；
(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，不等式即为2|x－3|＋|x－4|<2，
若x≥4，则3x－10<2，x<4，∴舍去；
若3<x<4，则x－2<2，∴3<x<4；
若x≤3，则10－3x<2，∴<x≤3.
综上，不等式的解集为.
(2)设f(x)＝2|x－3|＋|x－4|，则
f(x)＝
作出函数f(x)的图象，如图所示．
由图象可知，f(x)≥1，
∴2a>1，a>，即a的取值范围为.
14．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得<x<1；
当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞)．
15．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，
f(x)＝
作出函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的图象．
由图象可知，不等式f(x)≥3的解集为
.
(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，
不满足题设条件；
若a<1，f(x)＝
f(x)的最小值为1－a；
若a>1，f(x)＝
f(x)的最小值为a－1.
∴对于∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，
∴a的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
16．(2015·福建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c的最小值为4.
(1)求a＋b＋c的值；
(2)求a2＋b2＋c2的最小值．
[解] (1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c≥|(x＋a)－(x－b)|＋c＝|a＋b|＋c，
当且仅当－a≤x≤b时，等号成立．
又a>0，b>0，所以|a＋b|＝a＋b，
所以f(x)的最小值为a＋b＋c.
又已知f(x)的最小值为4，
所以a＋b＋c＝4.
(2)由(1)知a＋b＋c＝4，由柯西不等式得
(4＋9＋1)≥
2＝(a＋b＋c)2＝16，
即a2＋b2＋c2≥.
当且仅当＝＝，
即a＝，b＝，c＝时等号成立．
故a2＋b2＋c2的最小值为.
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