抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质.doc

抛物线的焦点与弦有关的几个结论性质
　　在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．
　　不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.
　　过焦点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，又作AA1⊥l, BB1⊥l，垂足分别为A1、B1.
　　AB⊥x轴时，, , 此时弦AB叫抛物线的通径，它的长|AB|＝2p．
　　AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程为 (如图)．
　　由方程组消去y，得
　　, 或消去x, 得.
　　结论1：(定值)，,

　　结论2：y1y2＝-p2(定值)，.

　　结论3：弦长.

　　结论4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．
　　事实上，若AB⊥x轴，则
　　m＝n＝p， .
　　若AB与x轴不垂直，则.
　　.

　　结论5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．

　　证法1：设弦AB所在的直线方程为.
　　由方程组消去x，得 y2-2pmy-p2=0.
　　∴ y1+y2=2pm,　 y1y2=-p2.

　　当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．

　　证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则
　　|AF|=|AA1|=p+|AF|cos, |BF|=|BB1|=p-|BF|cos,
　　∴ .
　　,
　　当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．

　　结论6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．
　　事实上，取弦AB的中点C，作CC1⊥l，垂足为C1. 则
　　.
　　这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

　　结论7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．
　　事实上，.
　　设AF的中点为D，则，∴ D到y轴的距离.
　　这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．
　　结论8：A1F⊥B1F（如图）
　　事实上，设，则
　　， 。
　　。
　　由结论2有y1y2=-p2, ∴, 即 A1F⊥B1F。

　　结论9：若M为A1B1的中点，则MF⊥AB。
　　事实上，当AB⊥x轴时，显然有MF⊥AB。
　　当AB与x轴不垂直时，。
　　由结论2，有，， ，即MF⊥AB。

　　结论10：在梯形AA1B1B中，两对角线AB1与BA1相交于点抛物线顶点O。

　　事实上，当AB⊥x轴时，此时易得，结论显然成立。
　　当AB与x轴不垂直时，设、，
　　则，
　　，
　　∴， ∴AB1经过原点O。
　　同理A1B经过原点O。

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