混沌系统介绍及例子.doc

专业学术讲座
报告

班级： 信计12-2
学号： 201211011060
姓名： 凌雷

二零一五年六月二十二日

目录
1. 混沌系统概念
2. 典型混沌系统介绍
3. 混沌金融系统的线性与非线性反馈同步
4. 混沌研究的发展方向及意义

一、混沌系统概念
混沌（chaos）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。又称浑沌。英语词Chaos源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。
动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。运动的可预测性是一个物理概念。一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。
混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。

二、典型混沌系统介绍
Lorenz系统 
混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。他提出了著名的Lorenz方程组：

()ïïî
ïïí
。

这是一个三阶常微分方程组。它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t，一般称作自治方程。式中x表示对流强度，y表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz和xy为非线性项，b是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。是普朗特数(v和k分别为分子粘性系数和热传导系数)，c代表与对流纵横比有关的外形比，且a和c为无量纲常数。在参数范围为时，Lorenz系统均处于混沌态。 
在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x、y随时间t的变化情况。

总体上，Lorenz吸引子由左右两个环套而成，每个环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶的翅膀。这个吸引子中的环和螺线有无穷的深度，它们之间可以无限靠近，但永远不会相交，仅占据有限的空间，具有无穷嵌套的复杂结构。例如，随着时间的演化，每一个环都靠得很近的无穷多层，每层上都密密麻麻的排列着无穷多个螺线，它代表系统的相点在右侧转几圈后又跳到左侧转几圈，运动轨道无法预测什么时候从这一侧过渡到另一侧，并且它所绕各自中心的方式和圈数也是个明显的随机数。这就是混沌状态。

三、混沌金融系统的线性与非线性反馈同步
自从1990年E.Ott等提出OGY混沌控制以及同年L.M.Pecora等提出完全同步以来,人们对混沌系统的认识更加深入.混沌同步用来实现两个系统的混沌态的完全重构,已经成为非线性科学理论及应用中的重要组成部分,是当前混沌理论研究和应用中的热点问题。目前,混沌同步已经广泛应用于激光物理、通信、化学反应、生物医学等领域.经济学中的混沌现象自1985年首次被发现以来,对当今西方主流经济学派产生了巨大的冲击,因为经济系统中出现混沌现象意味着宏观经济本身具有内在的不稳定性.根据混沌经济学家的观点,金融市场是一个复杂的经济系统,金融危机是这个系统产生的一种混沌现象,显然经济混沌控制就显得尤为重要.本研究考虑一类金融系统的混沌同步问题,首先利用非线性反馈控制实现了该金融系统的自同步,其次利用线性耦合的方法探讨了该系统的耦合自同步,得到了两种使该金融系统渐进同步的控制方法.数值仿真结果表明所给方法是有效的。
3.1、一类混沌金融系统的数学模型
模型建立了一个由生产子块、货币、证券子块和劳动力所组成的混沌金融系统:
﹒x=z+(y-a)x,
﹒y=1-by-x2,
﹒z=-x-cz,
其中x表示利率,y表示投资需求,z表示价格指数,a为储蓄量,b为投资成本,c为商品需求弹性.取参数a=0.9,b=0.2,c=1.2,初始条件为(2,1,2),利用Matlab软件得到系统(1)的三维相图见图1.

3.2、非线性反馈实现混沌金融系统的自同步控制
设驱动系统为(1),响应系统为
﹒x1=z1+(y1-a)x1+u1,
﹒y1=1-by1-x21+u2,
﹒z1=-x1-cz1+u3,
其中U= (u1,u2,u3)T是非线性反馈控制器.设e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,则误差系统为
﹒e1=e3+y1e1+xe2-ae1+u1,
﹒e2=-be2-e1(x1+x)+u2,
﹒e3=-e1-ce2+u3,
选择非线性反馈控制器如下:
u1=-y1e1+k1e1,
u2=x1e1+k2e2,
u3=k3e3,
其中ki(i=1,2,3)为反馈增益常数,此时误差系统变为
﹒e1=e3+xe2-ae1+k1e1,
﹒e2=-be2-e1x+k2e2,
﹒e3=-e1-ce3+k3e3,
构造李雅普诺夫函数V=12∑3i=1e2i,则
﹒V= ﹒e1e1+﹒e2e2+﹒e3e3=e1(e3+y1e1+xe2-ae1+u1)+e2[-be2-e1(x1+x)+u2]+
e3(-e1-ce3+u3)=-ae21-be22-ce23+y1e21+e1u1-e1e2x1+u2e2+u3e3,
将式第四个式代入上式可得
﹒V=-(a-k1)e21-(b-k2)e22-(c-k3)e23,
由于a,b,c为正数,只要反馈增益常数k1<a,k2<b,k3<c,就有﹒V负定,而V正定,则根据李雅普诺夫稳定性理论,误差系统的零解稳定,从而在控制器的控制下,混沌驱动系统响应系统可达到全局渐进同步.综合以上讨论可得定理1.
定理1　
对于驱动系统(1)和响应系统(2),如果系统的非线性反馈控制器取式(4),反馈增益常数
k1<a,k2<b,k3<c,则驱动系统(1)和响应系统可以实现全局渐进同步.
注:1)由于所取的控制器中含有3个参数,反馈增益的取值范围较大,从而实现了混沌系统大范围可控.
2)可以通过调节反馈增益常数使系统达到同步的时间缩短,从而减少实现混沌系统同步所需的工程造价.
3.3、线性耦合实现金融混沌系统的自同步控制
考虑两个状态变量相互耦合的系统:
﹒x=z+(y-a)x+d1(x1-x),
﹒y=1-by-x2+d2(y1-y),
﹒z=-x-cz+d3(z1-z),

﹒x1=z1+(y1-a)x1+d1(x-x1),
﹒y1=1-by1-x21+d2(y-y1),
﹒z1=-x1-cz1+d3(z-z1),
其中di(i=1,2,3)是耦合常数.设e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,
则由式和得到误差系统为:
﹒e1=e3+y1e1+xe2-ae1-2d1e1,
﹒e2=-be2-e1(x1+x)-2d2e2,
﹒e3=-e1-ce3-2d3e3,
构造李雅普诺夫函数V=12∑3i=1e2i,则﹒

令V负定,则A的一阶主子式|A1|=a+2d1-y1>0,
A的二阶主子式|A2|=(a+2d1-y1)(b+2d2)-x122>0,
A的行列式所以当耦合常数满足时,﹒V负定.根据李雅普诺夫稳定性理论,误差系统的零解稳定,驱动系统(6)和响应系统(7)可达到全局渐进同步.综合以上讨论可得定理2
定理2　对于驱动系统(6)和响应系统(7),参数a>0,b>0,c>0,若耦合常数
,则耦合系统(6)和(7)可达到全局渐进同步.
注:这种线性耦合方法也可以运用于两个不同结构的混沌系统的同步控制.
3.4、数值模拟
为了验证所设计的混沌控制器的有效性,采用
四阶龙格-库塔方法进行仿真.

例1、取驱动系统(6)的初值为(1.07,1,2.08),响应系统(7)的初值为(1.76,1.74,2.19),耦合常数d1=1,d2=5,d3=-0.5,参数取a=0.9,b=0.2,c=1.2,仿真结果得误差e1,e2,e3的时序图如图3所示.由图3可知,虽然耦合系统(6)和(7)的初值不同,但该混沌系统很快实现了自同步.

3.5、结论
研究了一类金融混沌系统的同步问题,基于李雅普诺夫稳定性理论,利用非线性反馈控制法和线性耦合同步法实现了该系统的自同步.这两种方法易于实现,且收敛速度快,并且可以推广到其他类似系统.该系统的控制方法和同步控制以及在金融方面的应用还有待进一步研究。

四、混沌研究的发展方向及意义
4.1混沌研究的发展方向：
混沌运动、奇怪吸引子、通向混沌道路等概念的提出，开阔了理论和实验工作者的思路。从

一个形似蝴蝶翅膀的洛仑兹吸引子20世纪80年代开始，在等离子体放电系统、非线性电路、声学和声光耦合系统、激光器和光双稳态装置、化学振荡反应、动物心肌细胞的强迫振动、野生动物种群的数目消长、人类脑电波信号乃至社会经济活动等领域内到处发现混沌，显示出混沌运动是许多非线性系统的典型行为。作为非线性科学主要研究领域，混沌研究的主要方向集中在如下几个方面：①时空混沌；②量子混沌；③混沌运动的进一步分类；④混沌吸引子的精细刻画；⑤混沌的同步和控制等。[1] 
对混沌的研究虽已有一些严格的数学方法，但大量的研究主要依靠计算机数值实验。混沌的研究和许多学科有关。在分析力学中，运用KAM定理可判断一类近似可积的哈密顿系统（一种非线性动力学系统）中能否出现混沌运动。开放系统的混沌运动的研究与耗散结构理论有密切联系。混沌的研究与协同学也紧密相关，两者都研究系统由有序向无序和由无序向有序的转化。在系统科学中，也日益重视对混沌的研究。对混沌研究的应用前景还有待进一步揭示。混沌现象的发现还使人们对于认识确定论与随机论之间的关系得到新的启示。
4.2混沌研究的发展意义：
混沌研究的实际意义是多方面的。①混沌运动的发现，使人们看到普遍存在于自然界而长期视而不见的一种运动形式，从而理解过去难以理解的许多现象。如1977年后曾发现，放在微波谐振腔中的超导隧道结随着增益的提高出现反常噪声，在4K低温下进行的实验中噪声的等效温度高达5×104K以上，这是用当时已知的任何机制都无法解释的。后来明白这是系统进入了混沌区，噪声来自动力学本身。高能粒子加速器中的束流损失、磁约束核聚变装置中等离子体的泄漏、核电站循环水系统可能发生的有害回流等，都与混沌现象有联系。②混沌运动的发现提供了一种考虑问题的新角度。如长期天气预报问题、洛伦茨吸引子的发现、大气动力学方程组解对初值的敏感性，动摇了原来以为只要提高计算精度即可解决长期天气预报的想法。而混沌吸引子的遍历性质，恰好可保证许多长时间平均量的稳定性和对初始条件的无关性。因为长期天气预报所关心的是相当长时期以后雨量、温度的平均值，混沌反而增加了长期天气预报的可靠性。另外，地磁场近百万年来的多次随机转向、影响全球天气变化的厄尔尼诺现象，都可从确定性系统的混沌运动角度加以研究。③混沌运动的研究对用物理学、数学等精确科学方法研究复杂的生命现象有重要启发作用。如各种生物节律，既非完全周期，又非纯粹随机。它既有受自然界周期过程如季节、昼夜等影响的一面，又保持着其自身内秉特性。采用耦合非线性振子等数学模型模拟配合生理实验，可揭示各种心律不齐、房室传导阻碍、心室纤维颤动与混沌运动的可能联系。考察人类的脑电波，发现癫痫患者发病时的脑电波呈明显的周期性，而正常人的脑电波更接近随机信号。采用维数测量发现这些信号并不真正随机，而是来至维数不很高的吸引子上的动力学行为。④混沌研究改变了人类的自然观。对于统一的自然界，历来有确定论和概率论两套对立的描述体系。牛顿力学建立以来的科学传统推崇确定论体系，而把概率论描述当作不得已而为之的补充。混沌运动对确定性系统本身就存在着内秉随机性的揭示，无疑会使人们从这种人为对立的描述系统中解脱出来，深化对必然和偶然的认识，更全面地认识自然界的统一性。[1] 
混沌现象的发现和混沌理论的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破。许多科学家认为，20世纪物理学三件辉煌的科学奇迹是相对论、量子论和混沌理论的创立。

参考文献:
[1]　LǜJ,Zhou T,Zhang S.Chaos synchronization between line-
arly coupled chaotic systems[J].Chaos,Solitons and Frac-
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[2]　Yassen M T.Adaptive chaos control and synchronization for
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[3]　卢殿臣,宋娟.不同系统之间的混沌同步[J].江苏大学学报,
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[4]　贾贞,邓光明.超混沌LU系统的线性与非线性耦合同步[J].
动力学与控制学报,2007,5(3):220-223.
[5]　闵富红,王执铨.统一混沌系统的耦合同步[J].物理学报,