反比例函数经典拓展难题.doc

1：（2007年浙江省初中数学竞赛）函数y＝图象的大致形状是（ ）
x
y
A
B
O

8题图

A B C D
2．(2009年牡丹江市)如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则矩形空白部分面积之和为 ．

3．作出函数的图象，并根据图象回答下列问题，当－3＜x＜2时，求y的取值范围为

4．如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，求S．

5．如图，点A、B是函数y＝x与的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，求四边形ACBD的面积为．

6．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OCD的一边OC在x轴上，∠C＝90°，点D在第一象限，OC＝3，DC＝4，反比例函数的图象经过OD的中点A．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)若该反比例函数的图象与Rt△OCD的另一边交于点B，求过A、B两点的直线的解析式．

7．如图，A、B两点在函数的图象上．
(1)求m的值及直线AB的解析式；
(2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的坐标．

8．如图，已知点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，点C(0，1)，若△ABC的面积是3，则反比例函数的解析式为____________．

9．如图，双曲线(k＞0)经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，求双曲线的解析式为．

10．如图，直线y＝kx＋b与反比例函数(x＜0)的图象交于点A，B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4．(1)试确定反比例函数的关系式； (2)求△AOC的面积．

11．如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)求方程的解(请直接写出答案)；
(4)求不等式的解集(请直接写出答案)．

12．如图，已知点A，B在双曲线上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点，若△ABP的面积为3，求k的值．

13（2010 山东济南）如图,已知直线与双曲线交A，B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值； （2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．

14（2010 河北）如图13，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．
（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该
反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．
x
M
N
y
D
A
B
C
E
O

图13

21．（2010四川）一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=的图象交于点A（2，1），B（－1，n）两点。
（1）求反比例函数的解析式 （2）求一次例函数的解析式 （3）求△AOB的面积

x

y

图10

O

B

A

C
D

13．如图，直线y＝mx与双曲线交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM，若S△ABM＝2，则k的值是( )．

反比例函数难题拓展
二、填空题
1. （2011浙江金华，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOC＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.
（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 .
（2）设P（t，0）当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 .

【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t≤2或－2≤t≤－4
2. （2011广东东莞，6，4分）已知反比例函数的图象经过（1，－2）．则 ．
【答案】－2
3. （2011山东滨州，18，4分）若点A(m，－2)在反比例函数的图像上，则当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是___________.
【答案】x≤-2或x>0
4. （2011四川南充市，14，3分）过反比例函数y=(k≠0)图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC的面积为3.则k的值为 .
【答案】6或﹣6.
5. （2011宁波市，18，3分）如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为

【答案】（＋1，－1）
6. （2011浙江衢州,5,4分）在直角坐标系中，有如图所示的轴于点，斜边,反比例函数的图像经过的中点，且与交于点,则点的坐标为 .
（第15题）

【答案】
7. (2011浙江绍兴，13，5分) 若点是双曲线上的点，则
（填“>”,“<”“=”）.
【答案】>
8. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B(2，0)，∠AOC＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.
（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是 .
（2）设P(t，0)当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是 .

【答案】（1）(4，0)；（2）4≤t≤2或－2≤t≤－4
9. （2011湖南常德，5，3分）如图1所示的曲线是一个反比例函数图象的一支，点A在此曲线上，则该反比例函数的解析式为_______________.
y
1
O
A
x
3
图1
【答案】
10．（2011江苏苏州，18,3分）如图，已知点A的坐标为（，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA，反比例函数y=（k>0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D.若AB=3BD，以点C为圆心，CA的倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是___________（填“相离”、“相切”或“相交”）

【答案】相交
11. （2011山东济宁，11，3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 ．
【答案】x＞1
12. （2011四川成都，25,4分）在平面直角坐标系中，已知反比例函数满足：当时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线都经过点P，且，则实数k=_________.
【答案】.
13. （2011安徽芜湖，15，5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数经过正方形AOBC对角线的交点，半径为（）的圆内切于△ABC，则k的值为 ．

【答案】4
14. （2011广东省，6，4分）已知反比例函数的图象经过（1，－2）．则 ．
【答案】－2
15. (2011江苏南京，15，2分)设函数与的图象的交战坐标为（a，b），则的值为__________．
【答案】
16. （2011上海，11，4分）如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图像经过点(－1，2)，那么这个函数的解析式是__________．
【答案】
17. （2011湖北武汉市，16，3分）如图，□ABCD的顶点A，B的坐标分别是A（－1，0），B（0，－2），顶点C，D在双曲线y=上，边AD交y轴于点E，且四边形BCDE的面积是△ABE面积的5倍，则k=_____．

 【答案】12
18. （2011湖北黄冈，4，3分）如图：点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．
A
B
O
x
y
 第4题图

【答案】－4
19. （2011湖北黄石，15，3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y=的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 。
【答案】k<-
20．（2011湖南常德，3，3分）函数中自变量的取值范围是_______________.
【答案】
21. （2011湖南永州，7，3分）若点P1(1，m)，P2（2，n）在反比例函数的图象上，则m_____n(填“＞”、“＜”或“=”号）．
【答案】＜
22. （2011内蒙古乌兰察布，17，4分）函数 , 的图象如图所示，则结论： ① 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) ② 当时， ③ 当 时， BC = 8 ④当 逐渐增大时，随着的增大而增大，随着 的增大而减小．其中正确结论的序号是＿ .

y
y1＝x
y2＝
x
第17题图

【答案】①③④
23. （2011广东中山，6,4分）已知反比例函数的图象经过（1，－2）．则 ．
【答案】－2
24. （2011湖北鄂州，4，3分）如图：点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=______．
A
B
O
x
y
 第4题图

【答案】－4
25. （2010湖北孝感，15，3分） 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，
且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD的面积为矩形，则它的面积为 .

【答案】2
26. （2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与轴正半轴的夹角，AB∥轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是　　　　.

【答案】2
27.
三、解答题
1. （2011浙江省舟山，19，6分）如图，已知直线经过点P（，），点P关于轴的对称点P′在反比例函数（）的图象上．
（1）求的值；
（2）直接写出点P′的坐标；
（3）求反比例函数的解析式．
（第19题）
x
y
O

P

【答案】（1）将P（-2，a）代入得a=-2×(-2)=4;
(2) P′（2，4）
（3）将P′（2，4）代入得4=，解得k=8，∴反比例函数的解析式为．
2. （2011安徽，21，12分）如图，函数的图象与函数（）的图象交于A、B两点，与轴交于C点，已知A点坐标为（2，1），C点坐标为（0，3）．
（1）求函数的表达式和B点的坐标；
（2）观察图象，比较当时，与的大小.
A
B
O
C
x
y

【答案】（1）由题意，得 解得 ∴ ;
又A点在函数上，所以 ，解得, 所以;
解方程组 得 , ．
所以点B的坐标为（1, 2）．
（2）当x=1或x=2时，y1=y2；
当1＜x＜2时，y1＞y2；
当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2．
3. （2011广东广州市，23，12分）
已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y = 的图象上，且sin∠BAC= ．
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标．
【答案】（1）把C（1，3）代入y = 得k=3
设斜边AB上的高为CD，则
sin∠BAC==
∵C（1，3）
∴CD=3，∴AC=5
（2）分两种情况，当点B在点A右侧时，如图1有：
AD==4，AO=4－1=3
∵△ACD∽ABC
∴AC2=AD·AB
∴AB==
∴OB=AB－AO=－3=
此时B点坐标为（，0）

x
y
B
A
C
D
O
O
x
y
B
A
C
D

图1 图2
当点B在点A左侧时，如图2
此时AO=4＋1=5
OB= AB－AO=－5=
此时B点坐标为（－，0）
所以点B的坐标为（，0）或（－，0）．
4. （2011山东菏泽，17（1），7分）已知一次函数与反比例函数，其中一次函数的图象经过点P(，5)．
①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标
【答案】解：因一次函数y=x＋2的图象经过点P(k，5)，
所以得5=k＋2，解得k=3
所以反比例函数的表达式为
（2）联立得方程组
解得 或
故第三象限的交点Q的坐标为(－3，－1)
5. （2011山东济宁，20，7分）如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.

(第20题)

【答案】（1） 设点的坐标为（，），则.∴.
∵,∴.∴.
∴反比例函数的解析式为. 3分
(2) 由 得 ∴为（，）. 4分
设点关于轴的对称点为，则点的坐标为（，）.
令直线的解析式为.
∵为（，）∴∴
∴的解析式为. 6分
当时，.∴点为（，）.…………………………7分
6. （2011山东泰安，26 ，10分）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）两点，与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2。
（1）求一次函数和反比全例函数的表达式。
（2）在x轴上存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由。

【答案】（1）∵直线y=k1x+b过A（0，-2），B（1，0）
∴ ∴
∴一次函数的表达式为y=2x-2
设M（m,n），作MD⊥x轴于点D
∵S△OBM=2
∴OB·MD=2 ∴n=2
∴n=4
将M（m，4）代入y=2x-2得：4=2m-2 ∴m=3
∵4= ∴k2=12
所以反比例函数的表达式为y=
(2)过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P
∵MD⊥BP ∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD= tan∠MBD= tan∠ABO===2
∴在Rt△PDM中，=2 ∴PD=2MD=8
∴PO=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）
7. （2011山东烟台，22,8分）如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？

【答案】解（1）在Rt△OAC中，设OC＝m.
∵tan∠AOC＝＝2，
∴AC＝2×OC＝2m.
∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，
∴m2＝1
∴m＝1（负值舍去）.
∴A点的坐标为（1，2）.
把A点的坐标代入中，得
k1＝2.
∴反比例函数的表达式为.
把A点的坐标代入中，得
k2＋1＝2，
∴k2＝1.
∴一次函数的表达式.
（2）B点的坐标为（－2，－1）.
当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2.
8. （2011浙江省，18，8分）若反比例函数与一次函数的图象都经过点A（a,2）
(1)求反比例函数的解析式；
(2) 当反比例函数的值大于一次函数的值时，求自变量x的取值范围．

【答案】(1)∵ 的图象过点A（a,2） ∴ a=3
∵ 过点A（3,2） ∴ k=6 ∴
(2) 求反比例函数与一次函数的图象的交点坐标，得到方程：
解得：x1= 3 , x2= -1
∴ 另外一个交点是（-1，-6）
∴ 当x<-1或0<x<3时，
9. （2011浙江义乌，22，10分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数
y= （k>0）的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为 .
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y= 的图象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y= 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.
B
O
A

【答案】（1）∵A(2，m) ∴OB=2 AB=m
∴S△AOB=•OB•AB=×2×m= ∴m=
∴点A的坐标为（2，） 把A（2，）代入y=，得=
∴k=1
（2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=
又 ∵反比例函数y=在x>0时，y随x的增大而减小，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1。
（3） 由图象可得，线段PQ长度的最小值为2。
10．（2011四川重庆，22，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y＝ (m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B的坐标为(6，n)，线段OA＝5，E为x轴负半轴上一点，且sin∠AOE＝．
(1)求该反比例函数和一次函数；
(2)求△AOC的面积．

【答案】(1)过A点作AD⊥x轴于点D，∵sin∠AOE＝ ，OA＝5，
∴在Rt△ADO中，∵sin∠AOE＝ ＝＝ ，
∴AD＝4，DO＝=3，又点A在第二象限∴点A的坐标为(－3，4)，
将A的坐标为(－3，4)代入y＝ ，得4=∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y＝－，
∵点B在反比例函数y＝－的图象上，∴n＝－＝－2，点B的坐标为(6，－2)，∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过A、B两点，
∴，∴
∴该一次函数解析式为y＝－x＋2．
(2)在y＝－x＋2中，令y＝0，即－x＋2=0，∴x=3，
∴点C的坐标是（3，0），∴OC＝3， 又DA=4，
∴S△AOC＝×OC×AD＝×3×4＝6，所以△AOC的面积为6．

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