概率论与数理统计期末考试卷附答案.docx

概率论及数理统计期末考试卷
课程名称： 概率论及数理统计 考试时间
专业 班 学号 姓名
题号
一
二
三
四
五
总得分
得分

评卷人

复核人

得分
一、填空题（每格3分，共18分）

1. 设，相互独立，则（1）至少出现一个的概率为_ ；（2）恰好出现一个的概率为_ _ _。
2. 设，，，则 。
3．设是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为，则的分布函数是 。
4．若随机变量服从正态分布，是来自的一个样本，令，则服从分布 。
5. 若对任意给定的,随机变量的条件概率密度 则关于的回归函数 .
得分
二、单项选择题（每小题2分，共10分）

1. 设函数在区间上等于，而在此区间外等于0，若可以做为某连续型随机变量的密度函数，则区间为（ ）。
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) 。
2. 假设随机变量的概率密度为，即，期望及方差都存在，样本取自，是样本均值，则有（ ）
(A) ； (B) ；
(C) ； (D) 。
3. 总体，已知，（ ）时，才能使总体均值的置信度为的置信区间长不大于。()
（A）； （B）；
（C）； （D）。
4. 对回归方程的显著性的检验，通常采用3种方法，即相关系数检验法，检验法和检验法，下列说法正确的（ ）。
(A) 检验法最有效；
(B) 检验法最有效；
(C) 3种方法是相通的，检验效果是相同的；
（D) 检验法和检验法，可以代替相关系数的检验法。
5．设来自正态总体的样本(已知),令,并且满足(),则在检验水平下, 检验时,第一类和第二类错误的概率分别是( )和( ).
(A) 当成立} ；
(B) |当不成立}；
(C) 当成立}；
(D) |当不成立}。
得分
三、计算题（每小题10分，共20分）

1. 设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为0.2、0.3、0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：
（1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；
（2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。
解：设事件分别表示甲、乙、丙三门炮击中目标，表示目标被击毁，表示有门炮同时击中目标（），由题设知事件相互独立，故
（1）由全概率公式，得
（2）由贝叶斯公式，得
2．随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量
试求：（1）和的联合概率分布；（2）；（3）的概率分布。
解：（1）因随机变量在区间上服从均匀分布，故
故和的联合概率分布如下：

－1
0
－1
1/4
0
1
1/2
1/4
(2) 关于的边际分布为

－1
1

1/4
3/4
关于的边际分布为

－1
0

3/4
1/4
故， ，
（3）的概率分布为

1
2

1/4
3/4
得分
四、计算题（ 每小题10分，共20分）

1. 设随机变量具有概率密度函数
试求（1）常数；（2）的概率密度函数；（3）。
解：（1） 由得
，得；
（2）由于在 内取值，的取值区间为，故的可能取值区间外，，
故
在上式两端对求导，得
（3）
2．设二维随机变量的联合分布密度为
(1) 求随机变量及的边际分布；
(2) 若分别为一矩形木板的长及宽,求木板面积的数学期望；
(3) 求条件分布密度。
解：（1）
（2）
(3) 当时，
当时，
得分
五、计算题（ 每小题10分，共20分）

1、设总体的分布律为， 其中为未知参数， 是来自总体的样本，试求：
（1） 参数的矩估计量；（2）参数的极大似然估计量（只需列出方程）。
2、假设随机变量服从正态分布, 是来自的10个观察值,要在的水平下检验
取拒绝域为。
(1) 求；
(2) 若已知,是否可以据此样本推断；
(3) 如果以作为该检验的拒绝域, 试求检验的显著水平。
其中，，。
解：（1）；
选择统计量
当时，
对于，查表知
因此拒绝域
即
（2）对于，即，因此不能据此样本推断；
（3）
由于检验的显著水平就是在时成立时拒绝的概率
得分
五、证明题（10分）

1．设，试证：。
证明： 因为 ， 即
2．设随机变量及相互独立，且都服从正态分布，而和分别来自总体和的样本，试证统计量
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