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练习24 平面向量的线性运算
A组
1．在矩形中，，，则向量的长等于（ ）
（A）2 （B） （C）3 （D）4
答案: D。
解析：

2．下面给出四个命题：
① 对于实数和向量、恒有：
② 对于实数、和向量，恒有
③ 若，则有
④ 若，则
其中正确命题的个数是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
答案：（C）
解析：根据实数与向量的积的定义及运算定律容易得出①、②、④正确，③不一定成立.
时，
但此时也不一定有成立
3．若a与b的方向相反，且，则a+b的方向与a的方向 ；
此时 ．
答案：相同；=；
解析：考察向量的加法运算以及模之间的关系。
4．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且，，，则下列各式：①；②；③；④ ．其中正确的等式的个数为
答案：2
解析：考察向量的加法运算。
5．已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若，则O是△ABC 的 。（填重心 、垂心、内心、外心之一）
答案：重心
解析：考察向量的运算与三角形的性质。
6．若则的取值范围是
答案：。
解析：由结论||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，因为=。
7．如图，D、E、F是的边AB、BC、CA的中点，
则=
答案：
解析：向量可以自由平移的观点是本题的解题关键，平移的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知∴
B组
8．在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）
答案：
解析：如图，，，
所以。
9．化简：= ．
答案：0
10．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知=a,=b,试用a，b表示和．

【解法一】 连结CN，则ANDC

∴四边形ANCD是平行四边形．
=－b，又∵+=0
∴=b－a
∴=－b+a=a－b
【解法二】 ∵=0
即：a+（－a）+（－b）=0，∴=b－a
又∵在四边形ADMN中，有=0，
即：b+a++（－a）=0，∴a－b．
11．已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点．
求证：
解析：思路1：运用向量的图形语言、向量的多边形法则，进行向量的加法、减法运算以及向量的中点坐标公式．
证法一：（如图1），∵E、F分别是AD、DC的中点，
∴，
∵，
∴． ①
同理 ． ②
由 ①+② 得 ．
∴．
证法二：连结EB、EC，（如图2），则
，，
∴

证法三：任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图3），
∵E、F分别是AD、DC的中点，
∴，．