数列求和习题及答案.doc

§6.4　数列求和
（时间：45分钟 满分：100分）
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．在等比数列{an} (n∈N*)中，若a1＝1，a4＝，则该数列的前10项和为(　　)
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
2．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1
C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
3．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于(　　)
A．126 B．130 C．132 D．134
4．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)
A．200 B．－200 C．400 D．－400
5．数列1·n,2(n－1),3(n－2)，…，n·1的和为(　　)
A.n(n＋1)(n＋2) B.n(n＋1)(2n＋1)
C.n(n＋2)(n＋3) D.n(n＋1)(n＋2)
二、填空题(每小题6分，共24分)
6．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.
7．已知数列{an}的通项an与前n项和Sn之间满足关系式Sn＝2－3an，则an＝__________.
8．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.
9．设关于x的不等式x2－x<2nx (n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．
三、解答题(共41分)
10．(13分)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1.
11．(14分)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差
中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>50成立的最小正整数n的值．
12．(14分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝ (n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
答案 1.B 2.C 3.C 4.B 5.A
6. (4n－1) 7. n－1 8. 　 9.10 100
10. (1)解 由已知得 (n≥2)．
故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1 (n≥2)．
故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.
又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3.∴an＝3n.
(2)证明　∵bn＝＝－.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝1－<1.
11解 (1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，…，其中a1≠0，q≠0.
由题意知：a1q＋a1q2＋a1q3＝28， ①
a1q＋a1q3＝2(a1q2＋2)． ②
②×7－①得6a1q3－15a1q2＋6a1q＝0，
即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2n.
(2)由(1)得bn＝－n·2n，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)．
设Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，③
则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1.④
由③－④，得－Tn＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
∴－Tn＝－(n－1)·2n＋1－2.
∴Sn＝－(n－1)·2n＋1－2.
要使Sn＋n·2n＋1>50成立，
即－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋1>50，即2n>26.
∵24＝16<26,25＝32>26，且y＝2x是单调递增函数，
∴满足条件的n的最小值为5.
12解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，
整理得2a1d＝d2.
∵a1＝1，解得d＝2，d＝0(舍)．
∴an＝2n－1 (n∈N*)．
(2)bn＝＝＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立，
又Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是单调递增的．
∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.
又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.