数列函数极限和函数连续性.doc

数列、函数极限和函数连续性
数列极限
定义1（语言）：设是个数列，是一个常数，若，正整数，使得当时，都有，则称是数列当无限增大时的极限，或称收敛于，记作，或.这时，也称的极限存在.
定义2（语言）：若,正整数，使得当时，都有,则称是数列当无限增大时的非正常极限，或称发散于，记作或，这时，称有非正常极限，对于的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.
1.2 数列极限求法的常用定理
定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若和为收敛数列，则也都是收敛数列，且有

若再假设及，则也是收敛数列，且有 .
定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理1.2.3（Stoltz公式） 设有数列，，其中严格增，且（注意：不必）.如果
（实数，），
则
定理1.2.3'（Stoltz公式） 设严格减，且，.若
（实数，），
则
.
定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设，则
（1） ，
（2） 若，则.
定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时，有
，
则数列收敛，且.
定理1.2.6（归结原则）设在内有定义.存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.

数列极限的求法
2.1 极限定义求法
在用数列极限定义法求时，关键是找到正数.我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.
例2.1.1 求，其中.
解：.
事实上，当时，结论显然成立.现设.记，则. 由 ,
得 . （5）
任给，由（5）式可见，当时，就有.即.所以.
对于的情况，因，由上述结论知，故
.
综合得时，.
例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.
证明：由，则，存在，使当时，有
,
则
.
令，那么
.
由，知存在，使当时，有.
再令,故当时，由上述不等式知
.
所以 .
例 2.1.3 求.
解：.
事实上，.
即.
对，存在，则当时，便有
所以.
注：上述例题中的7可用替换，即.
2.2 极限运算法则法
我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.
例2.2.1 求,其中.
解：分子分母同乘，所求极限式化为
.
由知，
当时，所求极限等于；当时，由于，故此时所求极限等于0.综上所述，得到

例2.2.2 求，其中.
解: 若，则显然有；
若，则由得
；
若，则
.
2.3 夹逼准则求法
定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具.
例2.3.1 求极限.
解：因为
，
所以
.
因 ，再由迫敛性知
.
例2.3.2 求数列的极限.
解： 记，这里，则
,
由上式得 ，从而有
, （2）
数列是收敛于1的，因对任给的，取，则当时有.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得
.
例2.3.3 设及，求.
解：.
事实上，先令，把写作，其中.我们有
.
由于，可见是无穷小.据等式 ，
注意到，由方才所述的结果是无穷小.最后的等式表明，可表为有限个（个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即
.
2.4 单调有界定理求法
有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.
例2.4.1 求例2.1.3注解中的.
解：.
事实上，令.当时，
.
因此从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限存在，在等式的等号两边令，得到,所以为无穷小.从而
.
例2.4.2 求极限（个根号）.
解：设，
又由，设，则.
因，故单调递增.
综上知单增有上界，所以收敛.
令由，
对两边求极限得，故.
2.5 函数极限法
有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.
例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求.
解：先求，因,
再由归结原则知.
例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求.
解：先求.因，
再由归结原则知.
例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设及，求.
解：先求.因（由洛比达法则），再由归结原则知.
2.6 定积分定义法
通项中含有的数列极限，由于的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了.
例2.6.1 求.
解：令，则.而,
也即，所以.
例2.6.2 求极限.
解：因为

，

，
类似地

，
由夹逼准则知
.
注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性.
2.7 Stoltz公式法
Stoltz公式，在求某些极限时非常方便，尤其是当时特别有效.
例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.
证明：前面用定义法证明，现用Stoltz公式证明.
令，则由Stoltz公式得到

.
例2.7.2 求.
解： （Stoltz公式）
＝ （二项式定理）
＝.
2.8 几何算术平均收敛公式法
上面我们用Stoltz公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发现很多类型的数列极限可以用此方法来简化其求法.
例2.8.1 同例2.1.1一样求，其中.
解：令,由定理1.2.4（2）知
.
例2.8.2 同例2.3.2一样求.
解：令,由定理1.2.4（2）知
.
例2.8.3 同例2.6.1相似求.
解：令,则

＝.
所以
，
也即，而由定理1.2.4（2）知
.
故
.
例2.8.3 求.
解：令，则由定理1.2.4（1）知
.
2.9 级数法
若一个级数收敛，其通项趋于0（）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想.
例2.9.1 用级数法求例2.1.3注.
解：考虑级数，由正项级数的比式判别法，因
，
故级数收敛，从而.
例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设及，求.
解：考虑正项级数，由正项级数的比式判别法，因
，
故正项级数收敛，所以.
例2.9.3 求极限.
解： 因级数收敛，由级数收敛的柯西准则知，对，存在, 使得当时，
，
此即，
所以
.
例2.9.4 求极限.
解：令，所以.考虑级数 ，
因为，所以此级数收敛.
令 ，则.再令， .
所以
.
而 ,
所以
.
2.10 其它方法
除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子.
例2.10.1 求.
解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性.

＝
＝.
例2.10.2 设,
证明：收敛，并求其极限.
解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛.
首先用数学归纳法可以证明
.
事实上,.假设，
则.
令，则.

＝， （1）
其中介于和之间.由于,再由（1）式知为压缩数列，故收敛.设,则.
由于
，
所以
.
解得（舍去），.
综上知.
注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.
函数极限
一、函数极限的定义

定义一：若当x无限变大时，恒有|f(x)-a|<，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向无穷大时，函数f（x）趋向于a，记作f(x)=a或f(x)→a(x→+)。
定义二：若当x无限接近时，恒有|f(x)-a|<，其中是可以任意小的正数，则称当x趋向时，函数f（x）趋向于a，记作f(x)=a或f(x) →a(x-)。
二、函数极限的求法

下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：

1、 直接代入法
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为。
例1：求
分析：由于
(2+x-5)=2+x-5=2·+2-5=5,
（3x+1）=3x+1=3·2+1=7
所以采用直接代入法。
解：原式===
2、利用极限的四则运算法则求极限
这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。
定理 若 f(x)=A g（x）=B
（1）[f(x)±g(x)]= f(x) ± g(x)=A+B
(2) [ f(x)·g(x)]= f(x) · g(x)=A·B
(3)若B≠0 则：
==
(4) C·f(x)=C·f(x)=CA （C为常数）
上述性质对于x→，x→+，x→-时也同样成立
例2：求
解： ==
3、利用极限定义求解
函数极限-定义：
=A: 当0<|x-|<时，|f（x）- A |<
=A: 当-<x-<0时， |f（x）- A |<
=A: 当0< x-<时，|f（x）- A |<
当|x|>M时，|f（x）- A |<
当x>M时，|f（x）- A |<
当x<-X时，|f（x）|>G
例3：用极限定义证明：=1
证：由=
==
取= 则当0<|x-2|<时，就有
<
由函数极限-定义有：=1

4、利用无穷小量的性质求解
性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量
性质2、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为无穷小量，且f(x)≠0,则为无穷大量，反之亦然。
性质3、乘积因子的等价无穷小量代换：
这函数f、g、h在内有定义，且有f(x)~g(x) (x→)
(1) 若f(x)h(x)=A，则g(x)h(x)=A;
(2) 若=B；
(3) 当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~~ln(x+1)并且1-cosx~。
例4：求xsin
解：因为|sin|≤1，所以|sin|是有界变量，又x=0，
所以当x→0时，xsin是有界变量与无穷小量的乘积，根据无穷小量的性质可知，xsin是无穷小量，所以xsin=0

注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如，当x→，是无穷小量，2x个这种无穷小之和的极限显然为2。
（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。
（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当 x→时，是无穷大量，是有界量，显然·→0。
（4）X→*下，f(x)>0，其极限f(x)未必大于0，例如，f（x）=显然f(x)=0.
5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解
例5：求
解：因为-4=0，5x=10，所以我们可以求出==0
这就是说，当x→2时，为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量，所以为x→2时的无穷大量，即=
6、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限）
利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果：
（1） 若f(x)在处连续，则 f(x)= f()；
（2） 若（x）=A，y=f(u)在u=A处连续则f[(x)]=f(A);
（3） 若f(x)=A>0, g(x)=B,则=
例6：（7x-6）
解：因为y=（7x-6）是初等函数，在定义域（，+）内是连续的，所以在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以（7x-6）=（7-6）=0
7、利用约零因子法求解
例7：求
分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是0,不能直接使用法则四,故采用消去零因子法.
解： 原式= (因式分解)
= (约分消去零因子 )
= (应用法则)
=
当分子和分母的极限同时为零时，可以考虑约去分子、分母的零因子（若不方便约分，可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解）。想例题这种含根式型（或差式-型）求极限时，一下看不出零因子，常常需要分子、分母有理化（或通分），然后再因式分解约去零因子进行求解。
8、利用等价无穷小量代换求解
当x→0时，有（1）sinx~x，（2）tanx~x，(3) arcsinx~x，(4) arctanx~x，(5) ~x，
(6) ln(x+1) ~x，
例8：求
解：因为当x→0时，1-cos2x~，
所以===2
（注意：在利用等价无穷小做代换时，一般只是在以乘积形式出现时才进行互换，而以和、差出现时，不要轻易代换，否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。）
9、利用两个重要极限公式及其推导公式来解
（1）第一个重要极限：=1：其变形为：=1
（2）第二个重要极限：=e：其变形为：=e
或=e：其变形为：=e
例9：求
解：先判断类型，是“”型，含三角函数（sin→0），且不能消零因子，现在我们利用第一个重要极限求解。
解：原式====×1=
10、运用洛比达法则求解（适用于未定式极限）
洛比达法则是求“”型和“”未定式极限的有效方法，但是非未定式极限却不能求。（0-，-，，，型未定式可以转化为“”型和“”未定式）
定理：若
（i） f(x)=0，g（x）=0
（ii）f与g在的某空心领域内可导，且g（x）≠0
（iii）=A（A可为实数，也可为±或），则==A
此定理是对“”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。
例10： （型）
解：原式===
注意：（1）并不是类似于“”型和“”型的极限都能用洛比达法则，利用洛比达法则求解，一定要先验证是否满足洛比达法则求解。

例如：
解：原式=，
但是（1+cosx）极限不存在，所以不能再用洛比达法则求解。
正确解法为原式=（1+cosx）=1

（2）应用洛比达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。
（3）要及时简化极限符号后面的分式，在化简以后检查时候仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛比达法则，否则会引起错误。
（4）当不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。
（5）将等价无穷小量代换等求极限的方法与洛比达法则结合起来使用，可简化计算。

11、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限
定理：函数极限f（x）存在且等于A的充分必要条件是左极限f（x）及右极限f（x）都存在且都等于A。即有：
f（x）﹤=>f（x）=f（x）=A
例11：设 讨论 在点 处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数, 是分段点, 要知 是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.
解 因为 f(x)= (x-1)= - 1
f(x)= (x+1)=1
f(x)≠ f(x)
所以 f(x)不存在.
注1： 因为 从 的左边趋于 ,则 ,故 .
注2： 因为 从 的右边趋于 ,则 ,故 .
此题也可以转化为讨论函数f(x)在x=0处的连续性问题。
12、利用函数极限的迫敛性求解
迫敛性（两边夹）若f（x）=g(x)=A,且在某内有f(x)≤h(x) ≤g(x),则h(x)=A
例12：求x[]
解：当x>0时有1-x< x[]≤1,故由迫敛性得：x[]
另一方面，当x<0时有1≤x[]<1-x，故由磨练下又可得：x[]=1
综上，可求得x[]=1
函数连续性
（一）函数在一点的连续性
定义1[1] 设函数f在某内有定义，若，则称f在点连续。
（二）一致连续性
定义2[1] 设f为定义域在区间I上的函数，若对任何的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得对任何,只要，就有|f()-f()|<ε，则称函数f在区间I上一致连续.

三、函数连续性的性质[1]
（一）连续函数的局部性质
定理1(局部有界性)若函数f在点连续，则f在某内有界。
定理2(局部保号性)若函数f在点连续，且（或<0），则对任何正数,存在某，使得对一切有.
定理3(四则运算)若函数f和g在点连续，则也都在点连续。
定理4 若函数f在点连续，g在点连续，，则复合函数在点连续。
（二）闭区间上连续函数的基本性质
定理5（最大、最小值定理）若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值。
定理6（介值性定理）设函数f在闭区间[a,b]上连续，f(a)≠f(b).若μ为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a)< μ<f(b)或f(a)> μ>f(b)）,则至少存在一点∈(a,b),使得f()=μ.
（三）反函数的连续性
定理7 若函数f在[a,b]上严格单调并连续，则反函数在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]上连续。
定理8（一致连续性定理）若函数f在区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上一致连续。
（四）初等函数的连续性
定理9 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。
定理10 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。
四、函数连续性的应用
（一）连续性在求函数极限中的应用
通过函数连续性的意义分析连续问题实质是一种极限问题，形式上说，它表明了连续函数的记号f与极限的记号的可交换性。所以当我们知道某个函数是连续函数时，求极限的问题可以转化为一个非常简单的求函数值问题，特别是以上的定理9和定理10，在理论上说明了连续函数的广泛程度，而实际上提供了一个求初等函数极限的简便方法。
总结出一个求初等函数极限一般的方法：先判断所给的极限函数是不是初等函数，若所给的极限函数f(x)是初等函数，并且自变量是趋向于它们定义域中某一点，那么，只须将代人f(x)，即可计算出f(x)在的函数值，就立刻得到想要求的的值了。
例1 求
解： 是初等函数，点x=0是它定义域中的点，所以

例2 求
分析：所给函数是否初等函数，从目前的函数关系表示尚看不出来，是一种所谓的“幂指函数”，但若采用“先对数，后指数”的方法，将它改写成

即可将它看成是初等函数与基本初等函数复合一次的结果，故是一个初等函数，而x=0是它的定义域中的点，所以很容易可以求出结果。
解
例3 求.
分析：x=0不是初等函数定义域中的点，不能直接运用我们的一般方法求解，但利用对数运算性质，令t=,则有x=ln(1+t)，函数变为

解

注；本题的结果可以作为重要极限的结果，在求其他极限时直接运用。它常对某些包括指数、对数运算及幂运算的所谓“”不定式的极限求法有很大帮助。
例4 求
分析 因为点x=2不在初等函数的定义域中，所以不能直接用一般方法求解，但是，注意到分子在x=2时也是零，所以我们用消去零因子的方法，先将分子、分母分别均乘上它们各自的共轭因式与，使零因子x-2分离出来，然后消去，得到一个新的初等函数，对于这个函数，点x=2在其定义域内，再进行求解。
解

（二）介值定理的应用
1、判定方程f(x)=0在区间[a,b]内是否有根
若f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)*f(b)<0,由介值定理知，f(x)=0在[a,b]上必定有根。
例如 证明方程在x∈(0,1)内必定有根。
证明 设，它在[0,1]连续，
又f(0)= -1<0，f(1)=1>0
故对于介于f(0)与f(1)之间的介值c=0，根据介值定理可知，
必存在ξ∈（0,1），使f(ξ) =0
即，这说明x=ξ是方程的根。

2、求方程的根达到的指定精确度的近似值
例如 求中根ξ的一个近似值。
解 先取[0,1]的中点0.5，因f(x)= -1<0，所以[0.5,1]中至少存在一个根，
再取[0.5,1]的中点0.75，算得f(0.75)<0,则[0.75,1]中至少存在一个根，不断这样作下去，可将一定存在一个根的范围缩小到很小的一个区间，以致这个小区间的长度小于所指定的精确度。
这时，我们就可以取小区间的左端点（或者右端点）作为根ξ的一个不足（或者过剩）近似值，它与根ξ的精确值误差已不超过所指定的精确度。
(三)判断函数在区间上是否有界
若f(x)在区间[a,b]连续，则f(x)在区间[a,b]有界。
例如 判断函数f(x)=arcsin x在区间[-1,1]上是否有界
解 因为f(x)=arcsin x是初等函数，在定义域连续
f(-1)=-1.57 ,f(1)=1.57
所以-π/2≤f(x)≤π/2，即有界.
（四）利用连续性求表达式中的常数
例如 选择a的值，使下面的函数处处连续

解 当x>1时，f(x)= 连续；当x<1时，f(x)= 连续，又因=a，，而f(1)=2
所以必须取a=2
(五)求闭区间上连续函数最值点
闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定在该区间上取得最大值和最小值，要注意f(x)必
须满足在[a,b]上连续，若有一点使f(x)不连续，则结论就不成立。
例1 设f在[a,+∞）上连续，且f(x)存在。证明：f(x)在[a,+∞）上有界，又问f在[a,+∞）上必有最大值或最小值吗？
证明 因为f(x)存在（设极限为B），可以推出：对ε=1，存在M>0,当x>M（M>a）时，有 |f(x)-B|<ε=1 ①
∴ |f(x)|≤|f(x)-B|+|B|=|B|+1
而在闭区间[a,M]上，因为f(x)连续，所以有界，即存在N>0,使
任意x∈[a,M],有|f(x)|<N,
∴任意x∈[a,+∞），恒有|f(x)|<max{|B|+1，N}
即f(x)在[a,+∞）上有界
但它未必有最大值，也未必一定有最小值。
如f(x)=arctan x 在[a,+∞）上无最大值。
但是无最大值者必有最小值，无最小值者必有最大值
因为若记ζ是f在[a,M]上的最大值，T是最小值，改写①式为
B-ε<f(x)<B+ε,（这里ε换为任意整数）
当B<ζ时，总存有ε使B+ε<ζ,这时无非M变成更大的m，但ζ仍存在，从而有最大值ζ
当T<B时，总存有ε使T<B-ε,类似推得，这时有最小值T
当T=ζ=B时，要保持上述两结果不出现，必须在M变得任意大时，在闭区间[0,M]上，恒有f(x)=Bf(x)=B,x∈[a,+∞），自然最大值、最小值都是B
例2 讨论函数f(x)= 的最值问题。
分析：闭区间[a,b]上的连续函数一定能取到最大值和最小值，哪些点有可能是最值点呢？很多教材指出：[a,b]上连续函数的最大（小）值仅可能在区间内极限点和区间端点取得。笔者认为这种说法是不正确的，事实上有些联系函数，其最值也可以在非极值点和非端点处取得。本题就是一个很好的例子。
函数f(x)在区间[3/2,6]上是连续的，但是最小值是在区间[3,4]上的所有点处取得。而根据极值点的定义知[3,4]上的点都不是极值点。
产生上述错误的原因是忽略了一个事实：若f(x)是[a,b]上的连续函数在（a,b）的一个最大（小）值点，则可能是极大（小）值点，从而是驻点或者是函数不可导点。还可能不是极值点，这时存在一个小区间[c,d] (a,b), ∈[c,d]，函数在[c,d]上是一个常值，这个值就是函数在[a,b]上的最大（小）值。显然（c,d）内的点都是驻点，端点c和a可能是驻点，也可能是不可导的点。
所以，严格地说，[a,b]上连续函数的最大（小）值仅可能在区间内的驻点，不可导的点，以及区间两断点处取得。
（六）压缩映射及其不动点[7]
1、压缩映射的定义：若f(x)在区间[a,b]上有定义，且满足
（1）f([a,b])[a,b];
（2）存在定值k，0≤k<1,使得任意∈[a,b],有|f()-f()|≤k|-|，则称y=f(x)是[a,b]上得一个压缩映射。
2、定理：压缩映射必定存在不动点，即若y=f(x)是[a,b]上的压缩映射，则存在∈[a,b]，使得f()=
证明：任意∈[a,b],若f()≠，令=f（），=f(),…, =f(),由定义，数列{}[a,b].

对任何自然数p

任意ε>0，存在N=[]
使得：n>N
所以对任何自然数p,| |<
所以数列{}收敛。
设，因为{}[a,b],所以∈[a,b]
=f()两边求极限，因为f(x)连续，
所以=f(),可见是f(x)的不动点。
用不动点原理求方程F(x)=0的根的近似值
方法：若已判断F(x)=0在[a,b]存在根，可将F(x)=0恒等变形为x=f(x),并使f(x)是[a,b]上的压缩映射。任意∈[a,b]，构造数列=f()（n=1，2，…）可见，方程的根=f(),当n大到一定程度，就是根的近似值。
总结负责人：李阳

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