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函数的单调性和奇偶性
例1 （1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．
解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．
评析 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．
（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．
分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．
解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．
评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．
例2 判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ -
（2）f（x）＝（x-1） ．
解：（1）f（x）的定义域为R．因为
f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜
＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．
所以f（x）为奇函数．
（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：
（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．
（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．
例3 已知函数f（x）＝ ．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．
解：因为f（x）的定义域为R，又
f（-x）＝ ＝ ＝f（x），
所以f（x）为偶函数．
（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．
其证明：取x1＜x2＜0，
f（x1）-f（x2）＝ - ＝ ＝ ．
因为x1＜x2＜0，所以
x2-x1＞0，x1+x2＜0，
x21+1＞0，x22+1＞0，
得 f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．
评析 奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．
例4 已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝ 在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．
分析 根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝ - ＝ 的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．
解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．
∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，
∴f（-x2）＜f（-x1）＜0． ①
又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1） ②
由①、②得 f（x2）＞f（x1）＞0．于是
F（x1）-F（x2）＝ ＞0，即F（x1）＞F（x2），
所以F（x）＝ 在（-∞，0）上是减函数．
评析 本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．
避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．
例5 讨论函数f（x）＝ （a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．
分析 根据函数的单调性定义求解．
解：设-1＜x1＜x2＜１，则
f（x1）-f（x2）＝ -
＝
∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，
∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，
（1-x21）（1-x22）＞0
于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．
故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．
评析 根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：
（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；
（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；
（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．
例6 求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．
解：设0＜x1＜x2≤k，则
f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-
＝
∵0＜x1＜x2≤k，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．
评析 函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））
类似可以证明：
函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．
例7 判断函数f（x）＝ 的奇偶性．
分析 确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．
解：由 得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．
∴f（x）＝ ，
∴f（-x）＝ ＝ ＝f（x）．
且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝ 是偶函数，不是奇函数．
评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．
函数奇偶性练习
一、选择题
1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（ ）
A．，b＝0 B．a＝－1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝3，b＝0
3．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的表达式是（ ）
A．y＝x（x－2） B．y ＝x（｜x｜－1） C．y ＝｜x｜（x－2） D．y＝x（｜x｜－2）
4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f（－2）＝10，那么f（2）等于（ ）
A．－26 B．－18 C．－10 D．10
5．函数是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
6．若，g（x）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，
则f（x）在（－∞，0）上有（ ）
A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3
二、填空题
7．函数的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．
8．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．
9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若，则f（x）的解析式为_______．
10．已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和为________．
三、解答题
11．设定义在［－2，2］上的偶函数f（x）在区间［0，2］上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围．
12．已知函数f（x）满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0，
试证f（x）是偶函数．
13.已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2—1，求f（x）在R上的表达式．
14.f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f（x）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f（x）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
15.设函数y＝f（x）（xR且x≠0）对任意非零实数x1、x2满足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），
求证f（x）是偶函数．
函数的奇偶性练习参考答案
1． 解析：f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数，为奇函数，
∴g（x）＝ax3＋bx2＋cx＝f（x）·满足奇函数的条件． 答案：A
2．解析：由f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．
又定义域为［a－1，2a］，∴a－1＝2a，∴．故选A．
3．解析：由x≥0时，f（x）＝x2－2x，f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－（x2＋2x）＝－x2－2x＝x（－x－2）．
∴即f（x）＝x（|x|－2）
答案：D
4．解析：f（x）＋8＝x5＋ax3＋bx为奇函数，
f（－2）＋8＝18，∴f（2）＋8＝－18，∴f（2）＝－26． 答案：A
5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（－x）＋f（x）＝0． 答案：B
6．解析：、g（x）为奇函数，∴为奇函数．
又f（x）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f（x）－2有最大值3．
∴f（x）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f（x）在（－∞，0）上有最小值－1． 答案：C
7．答案：奇函数
8．答案：0解析：因为函数y＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，
∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．
9．解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
可得，联立，∴．
答案： 10．答案：0 11．答案：
12．证明：令x＝y＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可证f（0）＝1．令x＝0，
∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）为偶函数．
13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．
f（x）＝x3＋2x2－1．因f（x）为奇函数，∴f（0）＝0．
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1，
∴f（x）＝x3－2x2＋1．
因此，
点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力．
14．解析：任取x1＜x2≤－5，则－x1＞－x2≥－5．
因f（x）在［5，＋∞］上单调递减，所以f（－x1）＜f（－x2）f（x1）＜－f（x2）f（x1）＞f（x2），即单调减函数．
点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．
15．解析：由x1，x2R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，
f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．
又令x1＝x2＝－1，
∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，
∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，
∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．
点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．
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