四川省眉山市20182019学年高一上学期期.doc

四川省眉山市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知全集U={1,2，3，4，5}，集合M={4,5}，则∁UM=(　　)
A. {5} B. {4,5}
C. {1,2，3} D. {1,2，3，4，5}
【答案】C
【解析】解：∵全集U={1,2，3，4，5}，集合M={4,5}，
∴∁UM={1,2，3}．
故选：C．
根据补集的定义求出M补集即可．
此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

2. 计算：21g2+1g25=(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】解：21g2+1g25=lg4+lg25=lg100=2．
故选：B．
利用对数的性质、运算法则直接求解．
本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3. 已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(12,32)，则sinα的值是(　　)
A. 12 B. 33 C. 3 D. 32
【答案】D
【解析】解：角α的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(12,32)，
则sinα=32，
故选：D．
由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

4. 函数f(x)=1−2sin22x是(　　)
A. 偶函数且最小正周期为π2 B. 奇函数且最小正周期为π2
C. 偶函数且最小正周期为π D. 奇函数且最小正周期为π
【答案】A
【解析】解：由题意可得：f(x)=cos4x，
所以该函数图象关于y轴对称，属于偶函数，且周期为T=2π4=π2．
故选：A．
先将函数运用二倍角公式化简为y=Asin(ωx+φ)的形式，再利用正弦函数的性质可得答案．
本题主要考查三角函数的奇偶性和最小正周期的求法.一般都要把三角函数化简为y=Asin(ωx+φ)的形式再解题．

5. 设a∈{−1,0，12，1，2，3}，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a的值有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】解：当a=−1时，y=x−1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数，不符合题意；
当a=0时，函数y=x0的定义域是{x|x≠0}且为偶函数，不符合题意；
当a=12时，函数y=x12的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数，不符合题意；
当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数，满足题意；
当a=2时，函数y=x2的定义域是R且为偶函数，不符合题意；
当a=3时，函数y=x3的定义域是R且为奇函数，满足题意；
∴满足题意的α的值为1，3．
故选：B．
分别验证a=−1，0，12，1，2，3知当a=1或a=3时，函数y=xa的定义域是R且为奇函数．
本题考查幂函数的性质和应用，解题时要熟练掌握幂函数的概念和性质，属于基础题．

6. 设集合A={x|0<x<2019}，B={x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　)
A. {a|a≤0} B. {a|0<a≤2019} C. {a|a≥2019} D. {a|0<a<2019}
【答案】C
【解析】集合A={x|0<x<2019}，B={x|x<a}，因为A⊆B，所以a≥2019；
故选：C．
根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．
此题考查了子集及其运算，属于简单题．

7. 为了得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，只需把函数y=3sin2x的图象上所有的(　　)
A. 向左平移π3个单位长度 B. 向左平移π6个单位长度
C. 向右平移π3个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度
【答案】D
【解析】解：由y=3sin(2x−π3)=3sin2(x−π6)，
即把函数y=3sin2x的图象向右平移π6个单位长度可得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，
故选：D．
由三角函数图象的平移可得：把函数y=3sin2x的图象向右平移π6个单位长度可得到函数y=3sin(2x−π3)的图象，得解．
本题考查了三角函数图象的平移，属简单题．

8. 函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图，则ω，φ可以取的一组值是(　　)

A. ω=π2,φ=π4
B. ω=π3,φ=π6
C. ω=π4,φ=5π4
D. ω=π4,φ=π4

【答案】D
【解析】解：∵T4=3−1=2，
∴T=8，ω=π4，
又由π4×1+φ=π2
得φ=π4．
故选：D．
由图象可知T/4=3−1=2，可求出ω，再由最大值求出φ．
本题考查函数y=sin(ωx+ϕ)的部分图象求解析式，由最值与平衡位置确定周期求ω，由最值点求φ的方法．

9. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x
1
2
3
f (x)
6.1
2.9
−3.5
那么函数f(x)一定存在零点的区间是(　　)
A. (−∞,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
【答案】C
【解析】解：由于f(2)>0，f(3)<0，
根据函数零点的存在定理可知故函数f (x)在区间(2,3)内一定有零点，其他区间不好判断．
故选：C．
利用函数零点的存在定理进行函数零点所在区间的判断，关键要判断函数在相应区间端点函数值的符号，如果端点函数值异号，则函数在该区间有零点．
本题考查函数零点的判断方法，关键要弄准函数零点的存在定理，把握好函数在哪个区间的端点函数值异号．

10. 设函数f(x)=1−log3x,x>131−x,x≤1，则满足f(x)≤3的x的取值范围是(　　)
A. [0,+∞) B. [19,3] C. [0,3] D. [19,+∞)
【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=1−log3x,x>131−x,x≤1，则由f(x)≤3可得31−x≤3x≤1 ①，或1−log3x≤3x>1 ②．
解①可得0≤x≤1，解②可得x>1，
综合可得x的取值范围是[0,+∞)，
故选：A．
由题意可得31−x≤3x≤1①，或1−log3x≤3x>1②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
本题主要考查分段函数的应用，指数函数、对数函数的性质，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题．

11. 同时具有性质“周期为π，图象关于直线x=π3对称，在[−π6,π3]上是增函数”的函数是(　　)
A. y=sin(x2+π6) B. y=cos(2x+π3) C. y=cos(2x−π6) D. y=sin(2x−π6)
【答案】D
【解析】解：A.函数的周期T=2π12=4π，不满足条件．
B.函数的周期T=π，当x=π3时，y=sin(π32+π6)=sinπ3≠±1，则函数关于x=π3不对称，不满足条件．
C.函数的周期T=π，当x=π3时，y=cos(2π3−π6)=cosπ2=0，则函数关于(π3,0)对称，不满足条件．
D.函数的周期T=π，当x=π3时，y=sin(2π3−π6)=sinπ2=1，该函数关于关于直线x=π3对称，在[−π6,π3]上是增函数，满足条件．
故选：D．
根据函数周期性，对称性和单调性的性质进行判断即可．
本题主要考查三角函数的性质，根据三角函数的周期性对称性和单调性的性质是解决本题的关键．

12. 已知奇函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当x>0时，f(x)=x2+3x+a，若函数g(x)=f(x)−x的零点恰有两个，则实数a的取值范围是(　　)
A. a<0 B. a≤0 C. a<1 D. a≤0或a=1
【答案】A
【解析】解：∵f(x)是奇函数，∴g(x)=f(x)−x是奇函数，
∵g(x)恰好有两个零点，
∴g(x)在(0,+∞)上只有1个零点．
当x>0时，g(x)=x2+2x+a，
∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴g(0)=a<0．
故选：A．
利用奇偶性可知g(x)在(0,+∞)上只有1个零点，根据g(x)在(0,+∞)上的单调性即可列出不等式，求出a的范围．
本题考查了函数零点与函数单调性的关系，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 函数f(x)=4−x+lg(x−1)的定义域为______．
【答案】(1,4]
【解析】解：要使函数有意义，则x−1>04−x≥0，
即x>1x≤4，
∴1<x≤4．
即函数f(x)的定义域为(1,4]．
故答案为：(1,4]．
根据函数的解析式，列出不等式组x−1>04−x≥0，求出解集即可．
本题考查了根据函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题．

14. 若tanα=3，则sin2αcos2α的值等于______．
【答案】6
【解析】解：∵tanα=3，
sin2αcos2α=2sinα⋅cosαcos2α=2tanα=6，
故答案为：6．
由于tanα=3，将sin2αcos2α化简为2tanα，问题解决了．
本题考查同角三角函数间的基本关系，将sin2αcos2α化简为2tanα是关键，属于基础题．

15. 设定义在R上的函数f(x)的周期为3π2，当0≤x≤π时，f(x)=cosx，则f(−5π6)=______．
【答案】−12
【解析】解：定义在R上的函数f(x)的周期为3π2，
则：f(x+3π2)=f(x)，
当0≤x≤π时，f(x)=cosx，
故：f(−5π6)=f(3π2−5π6)=f(2π3)=cos2π3=−12．
故答案为：−12．
直接利用函数的性质求出结果．
本题考查的知识要点：函数的性质的应用．

16. 将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有a4升，则m的值为______．
【答案】5
【解析】解：5秒后甲桶和乙桶的水量相等，
∴函数y=f(t)=aent满足f(5)=ae5t=12a，
即5t=ln12，得n=15ln12，
当k秒后甲桶中的水只有a4升，即f(k)=a4，
即15ln12⋅k=ln14=2ln12，
即k=10，
经过了k−5=10−5=5秒，即m=5，
故答案为：5．
根据5秒后甲桶和乙桶的水量相等，得到n的值，由f(k)=a4建立关于k的方程，结合对数恒等式进行求解即可．
本题主要考查函数的应用问题，结合指数幂和对数的运算法则是解决本题的关键.本题的难点在于正确读懂题意．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知cosθ=1213，θ∈(π,2π)，求sin(θ−π6)以及tan(θ+π4)的值．
【答案】解：∵cosθ=1213，θ∈(π,2π)，∴sinθ=−513，tanθ=−512，
∴sin(θ−π6)=sinθcosπ6−cosθsinπ6=−513×32−1213×12=−53+1226；
tan(θ+π4)=tanθ+tanπ41−tanθ⋅tanπ4=−512+11−(−512)×1=717．
【解析】利用同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式即可得出．
熟练掌握同角三角函数的基本关系式及其两角和差的正弦、正切公式是解题的关键．

18. 已知函数f(x)=2sinxcosx+cos2x−sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合．
【答案】解：(1)f(x)=2sinxcosx+cos2x−sin2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，
则函数的周期T=2π2=π，
由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，k∈Z，
即kπ+π8≤x≤kπ+5π8，k∈Z，
即函数的单调递减区间为[kπ+π8,kπ+5π8]，k∈Z．
(2)当sin(2x+π4)=1时，函数f(x)取得最大值2，
此时2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8，k∈Z，
即函数f(x)取得最大值是x的取值范围是{x|x=kπ+π8,k∈Z}．
【解析】(1)(用三角函数的倍角公式斤先化简，结合三角函数的辅助角公式进行化简进行求解
(2)根据三角函数最值性质进行求解即可
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式以及辅助角公式将函数化简为f(x)=Asin(ωx+φ)是解决本题的关键．

19. 科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关.在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L=a⋅lgII0(a是常数)，其中I0=1×10−12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10−11瓦/平方米，它的强弱等级L=10分贝．
(1)已知生活中几种声音的强度如表：
声音来源
声音大小
风吹落叶沙沙声
轻声耳语
很嘈杂的马路
强度I(瓦/平方米)
1×10−11
1×10−10
1×10−3
强弱等级L(分贝)
10
m
90
求a和m的值
(2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．
【答案】解：(1)将I0=1×10−12瓦/平方米，I=1×10−11瓦/平方米代入L=a⋅lgII0，
得10=alg1×10−111×10−12=alg10=a，
即a=10，m=10lg1×10−101×10−12=10lg100=20．
(2)由题意得L≤50，得10lgI1×10−12≤50，
得lgI1×10−12≤5，即I1×10−12≤105，
即I≤105×10−12=10−7，
答：此时声音强度I的最大值为10−7瓦/平方米．
【解析】(1)根据条件代入关系式，即可求出a和m的值；
(2)解不等式L≤50即可．
本题主要考查函数的应用问题，解对数的运算法则是解决本题的关键．

20. 已知函数f(x)=sin(x−π4)．
(Ⅰ)若f(α)=23，求sinα−cosα的值；
(Ⅱ)设函数g(x)=2[f(x)]2+cos(2x+π6)，求函数g(x)的值域．
【答案】解：(Ⅰ)∵f(α)=sin(α−π4)=sinαcosπ4−cosαsinπ4=22(sinα−cosα)=23，
∴sinα−cosα=23，
(Ⅱ)g(x)=2[22(sinα−cosα)]2+cos2xcosπ6−sin2xsinπ6
=1−sin2x+32cos2x−12sin2x
=−32sin2x+32cos2x+1
=−3sin(2x−π6)+1∈[−3+1,3+1]，
所以g(x)的值域为：[−3+1,3+1]．
【解析】(Ⅰ)利用两角差的正弦公式可得；
(Ⅱ)利用二倍角、两角和的余弦公式、辅助角公式可得．
本题考查了三角函数的恒等变换应用.属中档题．

21. 已知二次函数f(x)有两个零点0和−2，且f(x)最小值是−1，函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)若h(x)=f(x)−λg(x)在区间[−1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．
【答案】解：(1)∵二次函数f(x)有两个零点0和−2，
∴设f(x)=ax(x+2)=ax2+2ax(a>0).f(x)图象的对称轴是x=−1，
∴f(−1)=−1，即a−2a=−1，
∴a=1，
∴f(x)=x2+2x．
∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，
∴g(x)=−f(−x)=−x2+2x．
(2)由(1)得h(x)=x2+2x−λ(−x2+2x)=(λ+1)x2+2(1−λ)x．
①当λ=−1时，h(x)=4x满足在区间[−1,1]上是增函数；
②当λ<−1时，h(x)图象对称轴是x=λ−1λ+1
则λ−1λ+1≥1，
又λ<−1，解得λ<−1；
③当λ>−1时，同理需λ−1λ+1≤−1，
又λ>−1，解得−1<λ≤0．
综上，满足条件的实数λ的取值范围是(−∞,0]．
【解析】(1)根据二次函数的零点，利用待定系数法即可求f(x)和g(x)的解析式；
(2)根据h(x)=f(x)−λg(x)在区间[−1,1]上是增函数，确定对称轴和对应区间之间的关系，即可求实数λ的取值范围．
本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决本题的关键．

22. 已知函数f(x)=2x−a2x，(a∈R)．
(1)若函数f(x)=2x−a2x为奇函数，求实数a的值；
(2)设函数g(x)=2−2x−2+a2x−2(a∈R)，且H(x)=f(x)+g(x)，已知H(x)>2+3a对任意的x∈(1,+∞)恒成立，求a的取值范围．
【答案】解：(1)∵函数f(x)=2x−a2x为奇函数，定义域为R，关于原点对称，
∴f(−x)=−f(x)，即2−x−a2−x=−(2x−a2x)，
化简得：(2x+12x)(a−1)=0，即a=1；
(2)H(x)=f(x)+g(x)=34⋅2x+3a2x+2，
由H(x)>2+3a，化简得，14⋅2x+a2x>a，
设t=2x，t∈(2,+∞)，则t2−4at+4a>0，
∵H(x)>2+3a对任意的x∈(1,+∞)恒成立，
∴对任意t∈(2,+∞)，不等式t2−4at+4a>0恒成立．
注意到t−1>1，分离参数得a<t24(t−1)对任意t∈(2,+∞)恒成立．
设m(t)=t2t−1，t∈(2,+∞)，即a<14m(t)min．
m(t)=t2t−1=(t−1)+1t−1+2，
可知m(t)在(2,+∞)上单调递增，
∴m(t)>m(2)=4．
∴a≤14⋅4=1．
故a的取值范围为(−∞,1]．
【解析】(1)由函数f(x)=2x−a2x为奇函数，利用f(−x)=−f(x)列式即可求得a=1；
(2)H(x)=f(x)+g(x)=34⋅2x+3a2x+2，由H(x)>2+3a，得14⋅2x+a2x>a，设t=2x，t∈(2,+∞)，则t2−4at+4a>0，分离参数a，得到a<t24(t−1)对任意t∈(2,+∞)恒成立，再由函数的单调性求得m(t)在(2,+∞)上的最小值得答案．
本题考查函数奇偶性的判定及其应用，考查数学转化思想方法，训练了利用函数的单调性求最值，是中档题．

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