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基础典型题归类与解析
------选修2—1 常用逻辑用语（全章）

对某章节基础题型进行归类解析，并辅之以同类型题目进行巩固练习，不仅是老师的事，学生更要学会自己做好。
　当你会总结题目，对所做的题目会分类，知道自己能够解决哪些题型，掌握了哪些常见的解题方法，还有哪些类型题不会做时，你才真正的掌握了学数学的窍门，才能真正的做到"任它千变万化，我自岿然不动"。
　这个问题如果解决不好，在进入高二、高三以后会发现，有一部分同学天天做题，可成绩不升反降。其原因就是，他们天天都在做重复的工作，很多相似的题目反复做，需要解决的问题却不能专心攻克。
　久而久之，不会的题目还是不会，会做的题目也因为缺乏对数学的整体把握，弄的一团糟。我的建议是："归类解析"是将题目越做越少的最好办法。

一、题型一：命题、真命题、假命题的判断

1．例1：下列语句是命题的是(　　)
A．梯形是四边形　　　　　　　　 B．作直线AB
C．x是整数 D．今天会下雪吗
解：A

2、例2．下列说法正确的是(　　)
A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题
C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题
解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；
B所给语句是命题；
C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．
故选D.

变式练习：下列命题是真命题的是(　　)
A．{∅}是空集 B.是无限集
C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数
解析：选D. x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．

二、题型二：复合命题的结构
例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝.
(3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．

变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：
(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；
(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
(3)相等的两个角的正切值相等．
解析：(1)条件p：整数a是偶数，
结论q：a能被2整除，真命题．
(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，
即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．
条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，
结论q：该四边形是矩形，真命题．
(3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．
条件p：两个角相等，
结论q：这两个角的正切值相等，假命题．

三、题型三：命题真假判断中求参数范围

例4、已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围．
解析：若p为真，则解得m>2.
若q为真，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1<m<3.
p真，q真，即
故m的取值范围是(2,3)．

变式练习：已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0<x<4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
解：命题p是真命题，则x2－2x－2≥1，
∴x≥3或x≤－1，
命题q是假命题，则x≤0或x≥4.
∴x≥4或x≤－1.

四、题型四：四种命题的等价关系及真假判断
例5．命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(　　)
A．与原命题同为假命题
B．与原命题的否命题同为假命题
C．与原命题的逆否命题同为假命题
D．与原命题同为真命题
解析：选D. 原命题显然为真，
原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题． 故选D.

例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
答案：　B

例7．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是(　　)
A．若x≤y，则x2≤y2 B．若x>y，则x2<y2
C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y2
解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．

例8．．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
解析：　①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，假命题．
所以应填①②③.

变式练习．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的(　　)
A．逆命题 B．逆否命题
C．否命题 D．以上判断都不对
解析：选B. 命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若非y，则非x，所以p是r的逆否命题．所以选B.

五、题型五：问题的逆否证法
例9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解：∵m>0，
∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式
Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．

六、题型六：判断条件关系及求参数范围
例10．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当x＝2kπ＋时，tan x＝1，
而tan x＝1得x＝kπ＋，
所以“x＝2kπ＋”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A.

例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：　由题意得：
故D是A的必要不充分条件

例12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？
解：p：－1≤x≤10.
q：x2－4x＋4－m2≤0
⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m>0)
⇔2－m≤x≤2＋m(m>0)．
因为非p是非q的必要而不充分条件，
所以p是q的充分不必要条件，
即{x|－1≤x≤10}{x|2－m≤x≤2＋m}，
故有或，
解得m≥8.
所以实数m的范围为{m|m≥8}．

变式练习1：已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A. p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；
q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，
由小集合⇒大集合，
∴q⇒p，但pq．故选A.

变式练习2 已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．
解析：q是p的必要不充分条件，
则p⇒q但qp.
∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.
∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.
∴满足条件的a的取值范围为.

七、充要条件的论证
例13求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
证明：充分性：∵0<a<，
∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
∴a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a＜是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
八、命题真假值的判断
例14．如果命题“p∨q”与命题“非p”都是真命题，那么(　　)
A．命题p不一定是假命题
B．命题q一定为真命题
C．命题q不一定是真命题
D．命题p与命题q的真假相同
解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．非p为真，则p为假，∴q是真命题．

变式练习：判断由下列命题构成的p∨q，p∧q，非p形式的命题的真假：
(1)p：负数的平方是正数，q：有理数是实数；
(2)p：2≤3，q：3<2；
(3)p：35是5的倍数，q：41是7的倍数．
解：(1)p真，q真，∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，非p为假命题；
(2)p真，q假，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，非p为假命题；
(3)p真，q假，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，非p为假命题．

九、命题的否定与否命题
例15．命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为________，命题的否定为________．
解析：命题“若a<b，则2a<2b”的否命题为“若a≥b，则2a≥2b”，
命题的否定为“若a<b，则2a≥2b”．

变式练习1：“a≥5且b≥3”的否定是____________；
“a≥5或b≤3”的否定是____________．
解：a＜5或b＜3　a＜5且b＞3

变式练习2： (2010年高考安徽卷) 命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．
解：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3

变式练习3．写出下列命题的否定，然后判断其真假：
(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；
(2)p：函数y＝tan x是周期函数；
(3)p：∅⊆A；
(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.
解析：　
题号
判断p的真假
非p的形式
判断非p的真假
(1)
假
方程x2－x＋1＝0无实数根
真
(2)
真
函数y＝tan x不是周期函数
假
(3)
真
∅ A
假
(4)
真
不等式x2＋3x＋5<0的解集不是∅
假

十、全称命题与特称命题相关小综合题
例16．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.
(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.
(4)∃x0∈R，使x＋1<0.
解析：　(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵ax>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，
但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．
(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x0∈R，x＋1>0.
∴命题(4)是假命题．

例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤－3或a>2 B．a≥2
C．a>－2 D．－2<a<2
解析：依题意：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，
即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，
所以有：
⇔⇔a≥2.
所以选B
变式练习1： 已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：　当x0＝时，tan x0＝，
∴命题p为真命题；
x2－x＋1＝2＋>0恒成立，
∴命题q为真命题，
∴“p且q”为真命题．
所以填：真
变式练习2： 已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是(　　)
A．②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
解析：　当x＝时，tan x＝1，∴命题p为真命题．
由x2－3x＋2<0得1<x<2，∴命题q为真命题．
∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．
所以选 D

十一、综合训练典型题
例18．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得
(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a<x<3a，
当a＝1时，1<x<3，
即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.
由
解得即2<x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.
若p∧q为真，则⇔2<x<3，
所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)非p是非q的充分不必要条件，
即非p⇒非p且非q非q.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，
则A B.
所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.
所以实数a的取值范围是(1,2]．

例19．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解析：　(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0，a∈[－1,1]．

变式练习1：已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．
解析：　(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，
即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m＞－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.
(2)若m－f(x0)>0，
∴m>f(x0)．
∵f(x0)＝x－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.
∴m>4.

变式练习2：已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上单调递增．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0解集为R.若p∧q假，p∨q真，求实数a的取值范围．
解析：　∵函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3
＝[x＋(a2－a)]2－a2，在[－2，＋∞)上单调递增，
∴－(a2－a)≤－2，
即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.
即p：a≤－1或a≥2
由不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R得，
即
解得0≤a＜4
∴q：0≤a＜4.
∵p∧q假，p∨q真．
∴p与q一真一假．
∴p真q假或p假q真，
即或
∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．

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