高中必修一集合复习讲义.doc

【基础知识】
集 合
定 义
特 征
一组对象的全体形成一个集合
确定性、互异性、无序性
表示法
分 类
列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}
有限集、无限集
数 集
关 系
自然数集N、正整数集、整数集Z、有理数集Q、实数集R、空集φ
元素和集合的关系是如
集合与集合之间的关系是
运 算
性 质
交集 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； 并集 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；
补集 ＝{x|xA且x∈U}，U为全集
AA； φA； 若AB，BC，则AC；
A∩A＝A∪A＝A； A∩φ＝φ；A∪φ＝A；A∩B＝AA∪B＝BAB；
A∩CA＝φ； A∪CA＝I；C( CA)＝A
方 法
韦恩示意图 数轴分析
注意：① 区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}；
② AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ4.
③ 对于任意集合，则 ；；
④ 若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。

若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空子集的个数是，所有非空真子集的个数是。

【例题解析】
题型1． 正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．
点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组
从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（ ）
A．P　　 B．Q C．　 D．不知道
思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．
解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y≥0},Q={y|y≥1}，知QP，即P∩Q=Q．∴应选B．
例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（ ）
A．P∩Q=　 B．P Q C．P=Q D．P Q

例4若，则= （ ）
A．{3} B．{1} C． D．{－1}

题型2．集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例5. 若A={2，4, 3－22－＋7},B={1, ＋1, 2－2＋2,－ (2－3－8), 3＋2＋3＋7}，且A∩B={2，5}，则实数的值是________．
解答启迪：∵A∩B={2，5}，∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1． A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
当=1时，2－2＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去=1．
当=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去=－1．
当=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
故=2为所求．
例6. 已知集合A={,＋b, ＋2b}，B={,c, c2}．若A=B，则c的值是______．

例7.已知集合A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x2－x＋－1=0}，且A∪B=A，则的值为______．

题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例8.设集合A={|=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，则集合A、B的关系是________．
解：任设∈A，则=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
∴ n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故． 　　　①
又任设 b∈B，则 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
∵ k∈Z,∴k－1∈Z.∴ b∈A，故 　　　②
由①、②知A=B．
点评：这里说明∈B或b∈A的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理．
例9若A、B、C为三个集合，，则一定有（ ）
A . 　　　　B .　　　　C .　　　　D .
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解：由知，，故选A.
例10．设集合,则满足的集合B的个数是（ ）
A . 1 B .3 C .4 D . 8

例11． 记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（I）若，求；
（II）若，求正数的取值范围．

题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例12. 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|x－2=0}且A∪B=A，则实数组成的集合C是____．
解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，=2，当x=2时，=1．
这个结果是不完整的，上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A，当=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
例13．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．
思路启迪：先确定已知集合A和B．
解：

故实数的取值范围是．
例14. 已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩=，则实数m的取值范围是_________．

例15.已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，则实数p的取值范围是________．

题型5．要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例16．设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUA∩CUB={9}，则集合A、B是________．
思路启迪：本题用推理的方法求解不如用文氏图，填图的方法来得简捷，由图不难看出．
解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．

例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B．
解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，
B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}． 如图所示，
∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R．
A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0<x≤1}．
例18．设A={x|－2<x<－1，或x>1}，B={x|x2＋x＋b≤0}，已知A∪B={x|x>－2}，A∩B={x|1<x≤3}，求、b的值．

【专题训练】
一.选择题:
1．设M={x|x2+x+2=0}，=lg(lg10)，则{}与M的关系是（ ）
A、{}=M B、M{} C、{}M D、M{}
2．已知全集=R，A={x|x-|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=，则的取值范围是（ ）
A、 [0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）
3．已知集合M={x|x=2-3+2，∈R}，N={x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是（ ）
A、 MN B、MN C、M=N D、不确定
4．设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是（ ）
A、11 B、10 C、16 D、15
5．集合M={1，2，3，4，5}的子集是（ ）
A、15 B、16 C、31 D、32
6 集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则( )
A M=N B MN 　C MN D M∩N=
7 已知集合A={x|－2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m－1}且B≠,若A∪B=A，则( )
A －3≤m≤4 B －3<m<4　　C 2<m<4 D 2<m≤4
8．集合M=，且.则实数a的取值范围是( )
A. a-1 B. a1 C. a-1 D.a1
9．已知集合M=｛,｝.P=｛-,2-1｝；若card(MP)=3，则MP= ( )
A.｛-1｝ B.｛1｝ C.｛0｝ D.｛3｝
10．设集合P=｛3,4,5｝.Q=｛4,5,6,7｝.令P*Q=，则P*Q中元素的个数是 ( )
A. 3 B. 7 C. 10 D. 12
二．填空题：
11．已知M={}，N={x|，则M∩N=__________.
12．非空集合p满足下列两个条件：（1）p{1，2，3，4，5}，（2）若元素∈p，则6-∈p，则集合p个数是__________.
13．设A=｛1，2｝，B=｛x｜xA｝若用列举法表示，则集合B是 .
14．含有三个实数的集合可表示为，则 ．
三．解答题：
15.设A={x|x2+px+q=0}≠，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=，A∩N=A，求p、q的值.

16． 已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N．

17． 已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围．

18．已知集合,且，
，求,b的值.