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2.3.3 直线与平面垂直的性质
【课时目标】 1．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题．3．理解并掌握“平行”与“垂直”之间的相互转化．
直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言
⇒________
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行
②作平行线
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行
D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若M、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
①⇒n⊥α； ②⇒M∥n；
③⇒M⊥n; ④⇒n⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF⊂α，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是( )
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE
C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；
②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．
求证：(1)MN∥AD1；
(2)M是AB的中点．
11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．
能力提升
12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，
求证：平面DMN∥平面ABC．
13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．
1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行”都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互相平行”都是假命题．
2．3．3 直线与平面垂直的性质 答案
知识梳理
平行 a∥b
作业设计
1．B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]
3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF<PE，
∴有PG<PF<PE．故选C．]
4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．
∴选C．]
5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选B．]
6．C [设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO＝BO＝CO．]
7．4
解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．
8．①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
9．6
解析 由题意知CO⊥AB，
∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．
10．证明 (1)∵ADD1A1为正方形，
∴AD1⊥A1D．
又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1．
∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC．
又∵MN⊥平面A1DC，
∴MN∥AD1．
(2)连接ON，在△A1DC中，
A1O＝OD，A1N＝NC．
∴ON綊CD綊AB，
∴ON∥AM．
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．
∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．
11．证明
连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
∴＝，∴GG′∥AA′，
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．
12．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，
又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC．
13．
(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．
连接AC1，则BC⊥AC1．
由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，
所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC．
(2)解 如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，
连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．
设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a．
在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，
所以∠C1BD＝30°，
故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°．
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