全等三角形-经典例题.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,数学期末考试范围：,七,下：,第,3,4,5,6,章（整式的乘除、因式分解、分式、数据与统计图表）,八,上,：,第,1,章（三角形的初步知识）,第,2,章（,2.1,2.3,）（等腰三角形的性质为止）,全等三角形,如,图，,BE=CD,，,1=2,，则,AB=AC,吗？为什么？,C,A,B,1,2,E,D,BD=CE,吗,?,6.,如图，,CDAB,于,D,，,BEAC,与,E,，,BE,、,CD,交于,O,，且,AO,平分,BAC,，求证：,OB=OC,图中有几对全等三角形,?,如图，已知,Rt,ABC,Rt,ADE,，,ABC,ADE,90,，,BC,与,DE,相交于点,F,，连接,CD,，,EB,.21,(1),图中还有几对,全等三角形；,(2),求证：,CF,EF,.,A,B,C,P,条件：,AP,平分,BAC,，,PBAB,，,PCAC,A,B,D,C,P,O,条件：,CD,是线段,AB,的中垂线,要修建一个超市,P,，要满足三个村庄,A,、,B,、,C,都到超市的距离相等,(,村庄的位置形成一个三角形,),，请问如何确定这个超市的位置，说明理由？,A,B,C,P,3,、有三,条笔直的公路,a,b,c,，,要修建一,个水电站,O,，使点,O,到三,条,公路,的,距离相等,.,这样的点有几个？,各内角与外角的角平分线,4,个,6,、,作图，你能否找出一个点，使它到线段,AB,两端点的距离相等，并且到,COD,两边的距离也相等,试说明：,三,角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等,若,三角形三条边边长分别为,a,b,c,，三条角平分线的交点到三角形三条边的距离为,r,，则三角形的面,积,为,_,手拉手模型,常见图形,5(,背靠背,),例,3,：,把两个含有,45,角的直角三角板如图,1,放置，点,D,在,BC,上，连结,BE,，,AD,，,AD,的延长线交,BE,于点,F,求证,：,(,1),BE=AD,；,(,2)AFBE,A,F,B,C,E,D,变形,_1:,以点,A,为顶点作,二,个,等腰直角,三角形,（,ABC,，,ADE,），如图所示，连接,BD,，,CE,（,1,）,求证：,BD=CE,（,2,）求,BFC,的度数,如图,已知中,BE,CF,都是的高,P,是,BE,上一点且,BP,=,AC,Q,是,CF,延长线上一点且,CQ,=,AB,连接,AP,AQ,QP,求证:,以点,A,为顶点作,二,个,等边三角形,（,ABC,，,ADE,），连接,CD,，连接,BE.,有,哪些结论？,变形,_2:,：以点,A,为顶点作,二,个,等边三角形,（,ABC,，,ADE,），连接,CD,，连接,BE.,（,1,）,求证：,BD=CE,（,2,）求,BFC,的度数,已知如图，,ABC,与,EDC,都是等边三角形，且,A,D,E,在同一条直线上，若,DBE,86,则,ADB,例三：,已知在,ABC,中，,AB=AC,，在,ADE,中，,AD=AE,，且,1=2,，请问,BD=CE,吗？,2,1,图,13,如图（,1,），等边,ABC,中，,D,是,AB,边上的动点，以,CD,为一边，向上作等边,DEC,，连结,AE,。,1,）试说明,AE,BC,的理由,3,）如图（,2,），将（,1,）中点,D,运动到边,BA,的延长线上，所作仍为等边三角形。请问是否仍有,AE,BC,？证明你的猜想。,如图,已知在,ABC,中,ABAC,BE,CF,都是,ABC,高,P,是,BE,上,一点,且,BP,=,AC,Q,是,CF,延长线上一点且,CQ,=,AB,连接,AP,AQ,QP,求证,:,（,1,）,AP,=,AQ,;,（,2,）,AP,AQ,.,如图,13,，已知,BAC=,DAE,，,1=,2,，,BD=CE,，请说明,ABD,ACE,吗,？为什么？,如图，已知,ABC,中，,AB=AC,，,BAC=90,，直角,EPF,的顶点,P,是,BC,中点，两边,PE,、,PF,分别交,AB,、,AC,于点,E,、,F,，给出以下四个结论：,(1)AE=CF,；,(2),EPF,是等腰直角三角形；,(3),；,(4),当,EPF,在,ABC,内绕顶点,P,旋转时,EF=AP(,点,E,不与,A,、,B,重合,),。上述结论中始终正确的有,(),截长补短法作辅助线,要证明两条线段之和等于第三条线段，可以采取,“,截长补短,”,法。,截长法,，即,在较长线段上截取一段等于两较短线段中的一条，再证剩下的一段等于另一段较短线段。,补短,法,，,即把两短线段补成一条，再证它与长线段相等。,如,图，在四边形,ABCD,中，,AB/DC,，,BE,，,CE,分别平分,ABC,，,BCD,，且点,E,在,AD,上,.,求证：,BC=AB+DC,.,常规结论有哪些：,如,图，在四边形,ABCD,中，,AB/DC,，,BE,，,CE,分别平分,ABC,，,BCD,，且点,E,在,AD,上,.,求证：,BC=AB+DC,.,如,图，,ABC,的两条角平分线,BD,，,CE,交于点,O,，,A=60.,求证：,CD+BE=BC.,在线段,BC,取点,F,，使得,BF=BE,，连结,OF,。,结论,1,：,BOE,BOF,，,需要证：,CF=CD,你能有哪些结论？,角平分线，构筝形,线段和差，截长补短,如,图，,ABC,的两条角平分线,BD,，,CE,交于点,O,，,A=60.,求证：,CD+BE=BC.,在线段,BA,或延长线上取点,H,，使得,BH=BC,，连结,OH,。,结论：,BOH,BOC,要证：,EH=CD,即,证：,EOH,DOC,如,图，,ABC,的两条角平分线,BD,，,CE,交于点,O,，,A=60.,求证：,CD+BE=BC.,在线段,BA,或延长线上取点,H,，使得,CD=EH,，连结,OH,。,要证,BOH,BOC,，,已,有条件,BO=BO,，,HBO=,CBO.,原因：没有用到角平分线模型,如,图，,ABC,的两条角平分线,BD,，,CE,交于点,O,，,A=60.,求证：,CD+BE=BC.,方法总结：,BE=BF,BH=BC,统一模型：角平分线,轴,对称模型,如,图，,ABC,的两条角平分线,BD,，,CE,交于点,O,，,A=60.,求证：,CD+BE=BC.,想一想，你还有什么方法？,提示：利用角平分线性质定理,.,例7、已知：如图所示，ABCD，PB和PC分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直,求证：PA=PD,E,在,ABC,中，,C=90,，,AD,平分,BAC,，,DEAB,于,E,，,F,在,AC,上，且,CF=EB,，求证：,（,1,）,BD=DF,（,2,）,AB+AF=2AE,变,：,如图，在,四边形,ABCD,中，,AC,平分,BAD,，,CE,AB,于点,E,，,ADC,与,ABC,互补,.,求证：,2AE=AD+AB,如,图，在,四边形,ABCD,中，,AC,平分,BAD,，,CE,AB,于点,E,，,2AE=AD+AB.,求,ADC+,ABC,的度数,.,如图,在四边形,ABCD,中,AC,平分,BAD,CEAB,于点,E,且,B+D=180.,求证：,AE=AD+BE.,F,如,图，在正方形,ABCD,中，,E,是,AB,上一点，,F,是,AD,的延长线上一点，且,DF=BE.,(1),求证：,CE=CF;,(2),若点,G,在,AD,上，且,GCE=45,，则,GE=BE+GD,成立吗？为什么？,(,变式,),如图，在正方形,ABCD,中，,E,是,AB,上一点，点,F,在,AD,上，且,EF=BE+FD.,求证：,FC,平分,EFD.,在,ABC,中，,AD,平分,BAC,AB+BD=AC,求,B:,C,已知,：,如图,，,在,ABC中，ABAC，1=2，P为AD上任一点,求证：AB-ACPB-PC。,倍长中线,1,.,在,ABC,中,AB=8,AC=6,则,BC,上的中线,AD,的取值范围,.,A,B,C,D,E,1.,有两边和第三边上中线对应相等的两个三角形全等。,2.,已知：如图,AC,=,BD,，,CAD,=,CDA,，AE是A,CD,的中线,.,求证：,B,=,C,AE,变,式：如图，在,ABC,中，,BD=CD=AC,，,E,是,DC,的中点，求证：,(1)AD,平分,BAE.,(2)AB=2AE,3.,如图，在四边形,ABCD,中，,AD/BC,，,E,是,CD,的中点，连结,AE,，,BE,，,BE,AE.,求证：,AB=BC+AD.,4.,已知：如图，AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F求证：BE,+,CF,EF,5.,如图，已知在,ABC,中，,ACB=90,，,AC=BC,，,BD,平分,ABC,交,AC,于点,D,，,AE,BD,交,BD,的延长线于点,E.,求证：,BD=2AE.,(1),如图,1,：在四边形,A,BCD,中，,AB,=,AD,，,BAD,=120,，,B,=,ADC,=90,E,，,F,分别是,BC,，,CD,上的点且,EAF,=60,探究图中线段,BE,，,EF,，,FD,之间的数量关系,(,2),如图,2,，若在四边形,ABCD,中，,AB,=,AD,，,B,+,D,=180,E,，,F,分别是,BC,，,CD,上的点，且,EAF,=,BAD,，上述结论是否仍然成立，并说明理由；,三垂直,P31 EX17,（,1,）如图甲所示，在,ABC,中，,BAC=90,，,AB=AC,，,直线,m,经过点,A,，,BD,直线,m,，,垂足为,D,，,CE,直线,m,，,垂足为,E.,证明：,DE=BD+CE.,(2),如图乙所示，将第（,1,）题中的条件改为在,ABC,中，,AB=AC,，,D,，,A,，,E,三点都在直线,m,上，并且有,BDA=AEC=BAC=,，,其中,为任意锐角,.,请问结论,DE=BD+CE,是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由,.,P31 EX16,如图，过正方形ABCD的顶点B作直线L，过A，C，D作L的垂线垂足分别为点E，F，G若AE=2，CF=6，则CF+AE+DG的值为,P30 EX12,如图，,在,ABC,中，,C=90,，,P,、,E,分别是边,AB,、,BC,上的点，,D,为,ABC,外一点,，,DEBC,，,DE=EC,，,BE=2EC,，,BDE=PEC,，,ADPE,，,AC=4,，则,线段,BC,的,长为,。,如图，,AEAB,且,AE=AB,，,BCCD,且,BC=CD,，那么，按照图中所标注的数据，图中实线所围成的图形面积为,_,练习,3,：如,图.,ACB=90,，AC=BC，BECE，ADCE，,垂足分别为,E，D，,图中有哪条线段与,AD,相等，并说明理由。,B,E,A,C,D,如图，在等腰,Rt,ABC,中，,ACB,=90,，,AC=BC,，,D,为,BC,的中点，过点,B,作,BF,BC,，并使,BF=BD,，连接,CF,交,AB,于,E,(1)BDE=ADC,；,(2),连接,AF,，试判断,AF,与,CF,的大小关系，并说明理由,如图，,ABC=90,，,AB=AC,，,D,是,AC,上一点，分别过,A,、,C,作,BD,的垂线，垂足分别为,E,、,F,，求证：,EF=CF,AE,3,已知,ABC,为正三角形，点,M,是射线,BC,上任意一点，点,N,是射线,CA,上任意一点，且,BM=CN,，直线,BN,与,AM,相交于点,Q,求,BQM,等于多少度,A,B,Q,C,M,N,M,A,B,Q,C,N,A,B,C,M,N,Q,