新课改下高中数学导数的教学研究.doc

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新课改下高中数学导数的教学研究新课改下高中数学导数的教学研究摘要微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数是微积分学习中的一个重要内容，而高中导数教学既是高中数学的核心内容，又关乎于高中毕业生对微积分基本思想方法的理解应用。本研究主要采用文献法、比较法、实验研究法和调查法（问卷调查和访谈）等研究方法，对新课改下高中数学导数的教学进行研究。本论文可分为五个部分：第一部分，说明研究背景、意义、思路和方法；第二部分，通过查阅资料了解了微积分产生的历史、地位和意义，对中外微积分教材进行了比较分析；第三部分，对内蒙古地区的现行教材从教学目标、教学内容、编写体例以及教学内容处理上的变化进行对比分析；第四部分，利用实验研究法对课题进行深入研究，得出实验结论——在数学课堂教学中引用几何画板等多媒体软件，改变了教师长期以来一直沿用的一言堂、满堂灌的教学方式和学生被动接受式学习方式，提高了学生的综合能力，培养了学生的问题意识和探究精神；第五部分，笔者总结研究结论，并指出研究不足。由此，笔者认为能对高中新课程改革的效果产生影响的因素如下：一是教师教学观念的转变是进行新课程改革的前提条件；二是充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用是课堂教学取得成效的关键所在；三是在课堂教学中，几何画板等多媒体软件的加入虽然是一种有效的学习方式，但并不是学生学习方式的全部。关键词：新课改导数教学 1 绪论 1.1 研究背景 1.1.1 高中新课程改革对微积分教学提出的新要求微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在教学过程中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过这部分内容的学习，学生将体会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。 1.1.2 教育信息化十年发展规划（2011——2020）对微积分教学提出的新要求《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2011——2020年）》明确指出：“信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视”。教育部颁布的《教育信息化十年发展规划（2011——2020年）》中也强调指出，普及完善信息技术教育，不断适应教育的信息化及国际化的要求。以计算机技术和网络技术为代表的信息技术的发展要求教师的角色发生根本性变化，作为教师要改变传统的教育观念，努力学习新的先进的教育教学理论，积极进行教学改革及实验。随着现代信息技术的发展，计算机这种媒体以其生动的图像、声音等多媒体效果已越来越受到各学科教师的欢迎。传统的微积分教学强调教师讲的作用，在课堂上利用的媒体也多是粉笔、黑板和幻灯，教学过程显得非常单调；而运用多媒体信息技术进行《导数及其应用》的教学，可使学生手、脑、眼、耳并用，使学生有新颖感、惊奇感、独特感、直观感，能唤起学生的“情绪”和激发他们的兴趣，从而提高教学效率。 1.1.3 高中数学教学中学生懒于思考及问题意识缺乏的现状前苏联教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“一个真正的学校应当是一个积极思考的王国，一个有生命力的课堂应当是一个能令人产生无限遐想的学习空间。”然而，在日常教学活动中，学生认为学习数学只需将老师讲过的知识和方法背熟记牢即可，认为“不会没关系，老师会讲的。”久而久之，学生养成了“衣来伸手，饭来张口”的习惯，既失去了原有的学习兴趣，也丧失了本该具备的思考能力。人民教育出版社从事中学数学教材研究及编写工作的章建跃先生明确指出，目前我们许多中学的数学教学=题型教学=刺激反应，缺少知识的发生发展过程，对学生有害无益。“数学要教人学会思考。” 问题意识是个体在认知活动中面对难以解决的问题时所产生的一种怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态，它能激发我们积极思考，仔细揣摩，大胆质疑，从而提出问题。美国教育家布鲁巴克指出：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则是让学生自己提出问题。”但是长期以来，由于陈旧的教学观念的束缚，对学生学习能力和主动精神估计不足，数学课堂教学普遍缺乏问题意识，不善于用数学眼光观察、思考、认识客观世界。因此，让学生学会思考、大胆质疑、提出新问题、发表新见解已经成为当前数学教学中一个亟待解决的问题。 1.1.4 关注初高等数学教学的衔接高中阶段的教育是基础教育的重要组成部分，它起着上接大学的专业教育，下承义务教育阶段的基础教育的作用。许多高中老师关注过初高中数学教学的衔接问题，尤其在高一学段更为重视，但对高中及大学数学的衔接教学则思考较少，或许因为前者是为了保证高中教学的顺利进行，而后者是为了学生在高校的学习，是大学老师的事。这种“各扫自家门前雪”的心理，导致高中数学教学只盯着眼前的分数，不兼顾学生的可持续发展。而高中导数的教学就扮演了这样一个角色，它既关乎于高中毕业生对微积分基本思想方法的理解应用也关乎于高中及大学间的衔接问题。 1.2 研究意义在全国上下进行高中课程改革的大背景下，笔者所在的内蒙古赤峰市的所有高中学校也进行的如火如荼，但多数存在着主管领导口号喊得响、规划做得好，任课教师却依然采用传统教学模式的现象。究其原因，其实是一线教师的现代教育理论学习不够，缺乏理论指导和技术支持，表现除了教师的专业精神、专业知识、专业技能、对教学的情感和态度有所欠缺。通过对新课改下高中数学导数的教学研究，为高中数学的其他内容的教学总结出一般规律，为后续的研究和教学提供依据和参考，同时也提高了笔者自己的教学水平。 1.3 研究的思路和方法 1.3.1 研究思路笔者根据自己参加工作8年来对高中数学的教学实践，深切感受到高中课程改革对高中数学教学提出了更高的要求，从而确定了研究课题。通过查阅资料了解了微积分产生的历史、地位和意义，对中外微积分教材进行了比较分析，并对内蒙古地区的现行教材从教学目标、教学内容、编写体例以及内容变化上进行对比分析。最后，利用实验研究法对课题进行深入研究，得出研究结论，对未来教学提出建议。 1.3.2 研究方法（1）文献法搜集和分析研究各种现存的有关文献资料，从中了解了微积分产生的历史、地位和意义，中外微积分教学的现状以及导数教学方面的研究现状，总结别人的优点，确定自己的研究方向。（2）比较法通过分析有关文献资料、各版本教材以及《课程标准》，对中外微积分教材进行了比较分析，并对内蒙古地区的现行教材从教学目标、教学内容、编写体例以及内容变化上进行对比分析。（3）实验研究法所谓实验研究法，是针对某一问题，根据一定的理论或假设进行有计划的实践，从而得出一定的科学结论的方法。本文利用此方法对课题进行深入研究，得出研究结论。（4）调查问卷法通过调查问卷对学生的自主学习能力进行全面了解，用数据说明新课改大背景下的导数教学有利于学生的长期发展。（5）访谈法通过及师生访谈，了解教师和学生对新课改的理解，明确两者在教学中的真正想法，为得出研究结论提供事实依据。 2 文献综述 2.1 微积分产生的历史、地位和意义微积分是微分学和积分学的统称，它是继欧几里得几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。恩格斯更是称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。微积分的产生具有悠久的历史渊源。在中国，公元前4世纪，桓团、公孙龙等提出的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；公元3世纪刘徽的“割圆术”和公元5——6世纪祖冲之、祖暅对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后7位的圆周率的近似值，他还相当精确地计算了球的体积），都包含着微积分概念的萌芽。在欧洲，公元前3世纪欧几里得（Euclid，活动于公元前300年左右）在几何《原本》中对不可约量及面积及体积的研究，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含着上述萌芽。欧洲文艺复兴到17世纪期间的社会、经济状况、科学发展、贸易、航运等情况，对数学提出了新的要求。这些要求表现为一些亟待数学解决的问题，这些问题可以分为以下四种类型：一是已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度，反之，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离；二是求曲线的切线，三是求函数的最大值及最小值，四是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等。微积分问题被许多著名的数学家、天文学家、物理学家探索过，如法国的费马、笛卡尔、罗贝瓦尔、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列里等人都提出许多有建树的理论，但位于他们全部贡献的顶峰的是牛顿和莱布尼茨的成就——切线问题（微分学的中心问题）和求积问题（积分学的中心问题）。以牛顿开创的英国学派和以莱布尼茨开创的大陆学派从不同的出发点、观念和研究方法来思索微积分。牛顿把和的无穷小增量作为求流数或导数的手段。当增量越来越小的时候，流数（或导数）实际上就是增量的比的极限。这反映了牛顿的物理方向，他完全是从考虑变化率出发来解决面积和体积问题的。他的工作方式是经验的、具体的和谨慎的。而莱布尼茨却直接用和的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。这反映了莱布尼茨的哲学方向，他着眼于物质的最终的微粒，更关心的是用运算公式创造出广泛意义下的微积分。他的工作方式是富于想象的、喜欢推广的而且是大胆的。但是，微积分创立初期带有严重的逻辑问题，牛顿和莱布尼茨在无穷和无穷小量这个问题上其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量有时候是零，有时候不是零而是有限的小量，莱布尼茨也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了“第二次数学危机”。尽管如此，这个时期的数学家们敢于相信他们的直观和对自然的观察力，勇于开拓进取，把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，并带来了丰硕的成果。微积分的产生具有深远的历史意义。一方面，它极大地推动了数学科学的发展，丰富了数学科学的思想宝库，随着微积分的理论基础逐步完善，以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展，建立了多种数学分制，如微分方程、积分方程、复变函数、实变函数、泛函分析、微分几何、拓扑学、流形等；另一方面，微积分在力学、天文学以及物理和其他科学技术中的运用，极大地促进了以上科学的发展。 2.2 国外微积分课程开设情况在当今世界几乎所有的较发达的国家和地区，关于微积分的内容早已部分的列入到了中学教科书之中，微积分思想也被认为一种重要的数学思想来教授。下面分别以美国、日本、英国三国为例看看其他国家中学学习微积分的概况。 2.2.1 美国中学的AP微积分教学 AP全称是Advanced Placement，翻译成汉语应该是“高级定位”。AP微积分计划开始于20世纪50年代，而得到广泛认同实在美国高校入学人数急剧增加的20世纪60年代中后期，是为优秀高中生提供早日成才途径的培养方案。该计划包含两类微积分课程，每类有相应的考试，这两类课程及其相应的考试分别称为微积分AB和微积分BC。AB及BC的区别在于AB仅包含极限及单变量微积分，BC比AB多了级数，并且在AB的基本内容上增加了参数方程和极坐标方程。两类课程主要是为了发展学生们对微积分概念的理解以及为学生提供微积分方法和应用这些方法的经验。 AP课程强调用多种表示方法来理解微积分，如用图示、数值、公式及文字叙述四种方法（简称4规则）来描述概念、结论和问题。课程强调概念的广博性和方法的广泛适用性。课程的重点不是机械的操作，也不是对函数、曲线、定理或题型的分类和记忆。因此，虽然训练学生熟练的计算能力是课程的重要内容，但不是课程的核心。在课程教学中引入了计算机技术，用于增强理解函数概念的多种表示之间的联系，验证书面作业，进行数学实验，帮助理解定理的结论。 2.2.2 日本中学的微积分教学日本的中学数学教育在处理传统初等数学内容及新增内容的关系方面，对微积分一直比较重视。他们从1951年就开始在高中讲授微积分，此后多次修订高中数学教学大纲，如1970年公布的高中数学教学大纲，开设《数学概要》、《数学I》两门必修课，开设《数学II A 》、《数学II B 》、《数学III》、《应用数学》四门选修课。除《数学I》外，其他几门课程都有微积分的内容，特别是《数学II》和《应用数学》的主要内容是讲授微积分。1978年公布，1982年从高一年级开始实行的数学教学大纲，除《数学I》为必修课外，还有《数学II》、《基础解析》、《代数几何》、《微分积分》、《概率统计》五门选修课，其中三门主要都涉及微积分。1989年3月颁布，1994年实施的高中数学教学大纲，除《数学I》为必修课外，还有《数学II》、《数学III》、《数学A》、《数学B》、《数学C》五门选修课，其中《数学II》中有导数、导函数及其应用、积分初步等内容；《数学C》中有数值积分，包括区间求积法和面积的近似计算等内容；而《数学III》的内容全部为微积分，其教学目标是“加深对函数和极限、微分法和积分法的理解，达到掌握知识和熟练技能的目标，提高对事物现象进行数学研究和处理的能力”。1998年拉开的新一轮课程改革颁布了《学习指导要领》，新的高中数学课程结构有了一些变化，《数学基础》为选择必修，《数学I》为必修，《数学II》、《数学III》为选修，《数学A》、《数学B》、《数学C》为三门选修课，其中《数学II》涉及微积分的思想，《数学III》涉及极限、微分法、积分法。由此可见，微积分教学在日本始终占有重要位置。日本中学的微积分教学要求虽然有几种不同的水平，但在理论要求上都较低。日本认为，微积分的教学要求主要是让学生学习微分法和积分法的基本思想和方法。在他们的教材中，往往是通过图形直观及明显的事例，让学生理解微积分的基本概念和计算方法，着重给出微积分的丰富的应用。例如，在日本的教材中，数列的极限和函数的极限的定义均在实例和图形的导入下采用定性的描述性定义，而不是采用“”和“”式的定量的精确定义。日本把教材中的重点放在微积分方法的应用上。日本及中国同属东方教育体系，在数学教育方面有很多相似之处。但在微积分的教学中我国和日本有较大不同。日本在数学II、数学III分别系统地介绍了微积分的概念及方法。日本教材中导数的引入采用了两种方法，在“数学II”中从一次函数的平均变化率导出问题，然后把它引入二次函数，在采用一个没有严格定义的“极限”得出函数在某一点处的导数；在“数学III”中在先定义了极限的基础上引出导数，不过没有用引例，直接用“平均变化率”的极限定义函数在某一点处的导数值，然后使这一点处的函数的自变量在整个区间上变化，从而定义出导函数。并且也是在定义了函数在某一点处的导数之后再作几何解释的。由此可见，日本教材先以较低的逻辑起点较直观的形式给出导数的观念，在探讨了极限概念后引入比较严格的导数概念。 2.2.3 英国中学的微积分教学牛顿创造了微积分，英国人一直因为以为傲。早在20世纪60年代的“新数运动”中，英国较早的就将微积分内容列入高中课本，并且为必修内容。进入上个世纪八十年代，英国掀起了新一轮的课程改革，微积分课程的改革是其中重要的改革内容，出版了新的针对高中阶段学生学习的微积分教材。现在，英国在A-LEVEL和AS-LEVEL的教材中都全面的介绍了微积分的思想方法。在英国的历次课改中微积分内容始终是高中数学教学中的一个重要部分，从未动摇。英国高中的微积分内容不仅涵盖了微分及积分，从A-LEVEL数学学科的考核大纲来看，较之中国的高中阶段的数学高考大纲，最明显的区别莫过于将牛顿经典动力学归入数学学科，并将解决这类问题所需的微积分和级数作为大学入学考试的要求，这也遵循了现代数学分析、微积分学的发展轨迹。同中国课程标准相比，英国国家标准在微积分部分的广度上大很多。英国几乎是世界上高中时期学习微积分内容最多的国家。英国的数学教育改革向来在国际上十分活跃，在国际上占有重要地位。英国数学课程在应用性、实践性方面的特点是令人瞩目的，它在培养学生数学应用能力上大下工夫。为了强化“数学应用”的目标，英国中小学课程增强现代数学中具有广泛应用性的内容，如微积分、统计、概率、线性规划、系统分析及决策等。这些内容并不是设置在算术、代数等传统课程之后，而是及它们并驾齐驱，所占比重也有日益增加的趋势。强调从生活实际和学生知识背景中提出问题、解决问题，增强实践环节。 2.2.4 中外微积分教材比较分析由于各国根据本国的实际情况对普通高中教育阶段的认识有所不同，所以对高中阶段数学课程中微积分的知识的要求也有所不同，但也还是有相同的一面，那就是课程现代化的要求和社会进步的需要。所以，通过比较世界各主要国家高中阶段微积分课程内容的选择，会对我国在普通高中阶段选取微积分初步的课程内容有一定的参考价值。下面仅对中国大陆、美国、日本、英国四个国家和地区的高中数学教科书中的微积分内容作比较。进行比较所选择的数学教科书或教学大纲分别为：中国大陆，2007年1月《普通高中课程标准试验教科书数学A版》数学选修2-2；美国，AP微积分(BC)；日本，文英堂，竹之内修，高等学校新编，数学II（1998），数学III（1998）；英国，剑桥大学出版社SMP教科书，纯数学（1997）。教科书中的数学知识首先表现为教科书的主要教学内容，几种教科书所含内容的比较如下表所示（“√”表示有此课题，“×”表示无此课题）：教学内容中国美国日本英国实数理论 × × √ √ 数列的极限 × × √ × 函数的极限 × √ √ √ 函数的连续性 × √ √ √ 导数 √ √ √ √ 函数的和、差、积、商的导数 √ √ √ √ 复合函数的导数 √ √ √ √ 初等函数的导数 √ √ √ √ 高阶导数 × √ √ √ 微分 × √ × √ 参数方程的微分 × √ × √ 函数的单调性 √ √ √ √ 函数的极值 √ √ √ √ 函数的最值 √ √ √ √ 向量微分 × √ × √ 隐微分法 × √ × √ 不定积分 × √ √ √ 不定积分运算法则 × √ √ √ 换元积分法 × √ √ √ 分步积分法 × √ × √ 定积分 √ √ √ √ 定积分的几何应用 √ √ √ √ 定积分的力学应用 √ √ √ √ 极坐标下图形的面积 × √ √ × 简单的微分方程 × √ × √ 数值积分法 × √ × √ 函数的多项式展开 × √ × √ 迈克劳林展开式 × √ × √ 从上表可以看出，美国和英国的教科书涉及的教学内容最多，其次是日本，中国的教学内容最少。但在教学的要求上，各国根据各自的实际情况是有所不同的，英国微积分的部分内容是被作为必修课的内容列入的，而在中国、美国、日本微积分的部分内容则是作为选修课的内容而列入教学内容的。由此可见，国外的“精英教育”及国内的“大众教育”的差别之大。 3 新课标背景下导数的教学 3.1 内蒙古地区导数教材的对比分析当今世界，随着科学技术的发展，教育也不断地改革更新，数学教学目标，也正发生着时代性的变化。在注重学生基本知识、基本技能的同时，更注重培养学生的思维能力、关注对数学的情感及态度，关注学生的发展。使数学教学面向全体学生，实现“人人学有价值的数学、人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。内蒙古地区自2004年全区新高一使用《全日制普通高级中学教科书数学》（以下简称《大纲版》），2009年绝大多数盟市在新高一使用《普通高中课程标准试验教科书数学A版》（以下简称《人教A版》），只有呼和浩特市和赤峰市新高一作为试点使用《普通高中课程标准试验教科书数学B版》（以下简称《人教B版》），2010年全区新高一统一使用《人教A版》。本文通过对比两个版本教材在《导数》一章的教学目标、教学内容、编写体例以及教学方法，了解高中课程改革对导数教学提出的更高要求。 3.1.1 两个版本教材中导数教学目标的对比表3.1 两个版本教材中导数教学目标的对比大纲版人教A版对比目标描述了解…；掌握…；理解…；求…；通过…求…；运用…解决… 通过…了解…体会…；会…感受…；知道…；在…了解…；掌握…；会求…；初步理解…；通过…理解…；探索… 《课程标准》通过这些丰富多彩的语言使得使用者对教学目标的要求更加清晰也易于理解。但由于部分语言描述的过度细化，使得个别目标难以区分。目标分类知识及技能知识及技能过程及方法情感及态度体现出《课程标准》既要关注学生数学学习的结果，也要关心他们数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要关心他们在数学活动中表现出来的情感、态度的变化的新的评价理念。目标总量了解11个，理解9个，掌握和灵活运用6个，合计26个。了解13个，理解8个，掌握和灵活运用2个，合计23个。两个版本基本持平，没有太大变化。但《课程标准》对教学目标的平均要求有所降低。目标要求 1. 了解导数概念的某些实际背景（如光滑曲线的切线斜率、瞬时速度等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2. 熟记函数，（其中为有理数），，，，，，的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3. 会从几何直观了解可导函数的单调性及其导数的关系；掌握函数极值的定义，了解可导函数的极值点的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值及最小值。 4.了解微积分建立的时代背景和过程，了解微积分的科学价值、文化价值和基本思想。 1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。通过函数图象直观地理解导数的几何意义 2.能根据导数定义，求函数，，，，，的导数。能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如）的导数。会使用导数公式表。 3.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性及导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。 4.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 5.通过实例（如求曲边梯形的面积、変力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度及路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。应用定积分解决一些简单的几何和物理问题。 6. 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。课标A版及大纲版的区别是：第一，课标不要求学习微分的概念和有关内容；第二，在没有学习极限的前提下，课标以瞬时速度作为背景，从学生的认知水平出发，直观感知导数的概念，得出定义，再用曲线的切线加以强化，及以往教材的处理形成鲜明对照；第三，课标对多项式函数单调性的研究明确规定不超过三次，教学中便于操作把握；第四，大纲要求“熟记基本导数公式”，而课标要求“会使用导数公式表”，强调了学生应用知识的能力，不要求死记硬背。两者都要求学生能够认识到数学的价值和数学中蕴含着的极为丰富的辩证唯物主义因素，而后者还强调要学生体验数学的文化价值，使学生感受数学的美，培养学生利用运动变化的观点观察事物。《课程标准》指导下的教学目标对学生个性发展提出的要求比大纲版更有指导意义，有利于教学内容的制定。 3.1.2 两个版本教材中导数教学内容的对比表3.2 三个版本教材中导数教学内容的对比大纲版人教A版对比素材选取物理学：质点运动，变速直线运动。几何：正方形面积，无盖方盒的最大容积，圆柱型金属饮料罐的用料，圆锥形容器的容积，曲边梯形的面积，平面图形的面积，旋转体的体积等。经济：商品供需及商品价格物理学：气球膨胀率，高台跳水，质点运动，变速直线运动，汽车制动，货车制动，自由落体，弹簧的弹力做功，电场力做功，万有引力，船的燃料费及速度，汽车的速度及耗油，海潮水位等。化学：放射性气体，水净化几何：正方形面积，无盖方盒的最大容积，圆柱形金属饮料罐的用料，圆锥形容器的容积，曲边梯形的面积，平面图形的面积等。经济：国民生产总值增长率，饮料瓶利润，养猪场利润，商品的生产成本，房价等。医疗卫生：人体学观众的药物浓度，环保治污，室内细菌等。日常生活：海报版面设计，打印纸型号设计，团体旅游等。科技发展：磁盘最大存储量。大纲版的素材有限而且描述比较呆板，不够丰富，紧紧围绕着面积、体积、运动、价格这几种素材。标准版的素材丰富，更能使学生加深对所学内容的理解，使学生的数学学习更加密切的联系生活、联系科技发展。课程容量第三章导数 3.1 导数的概念（3课时） 3.2 几种常见函数的导数（1课时）阅读材料：变化率举例 3.3 函数的和、差、积、商的导数（2课时） 3.4 复合函数的导数（2课时） 3.5 对数函数及指数函数的导数（2课时）阅读材料：近似计算 3.6 函数的单调性（1课时） 3.7 函数的极值（2课时） 3.8 函数的最大值及最小值（2课时） 3.9 微积分建立的时代背景和历史意义（1课时）小结及复习（2课时）第一章导数及其应用 1.1 变化率及导数（约4课时） 1.2 导数的计算（约3课时） 1.3 导数在研究函数中的应用（约4课时） 1.4 生活中的优化问题举例（约3课时） 1.5 定积分的概念（约4课时） 1.6 微积分基本定理（约2课时） 1.7 定积分的简单应用（约2课时）实习作业（约1课时）小结（约1课时）大纲版内容多、要求高，将知识点划分得细。如导数的计算的处理，大纲版设置了7节内容，而标准版只用了3节内容。阅读材料在大纲版教科书中出现了3处，主要是数学文化方面的内容，在此主要是对一些正文内容的补充。而标准版教科书中没有这一板块的内容。标准版在微积分这一部分设置了实习作业。目的是通过收集微积分创立的时代背景和历史意义的有关材料，体会微积分在数学思想史和科学思想史上的价值本章主要内容是导数及定积分。这两项内容是微积分学的主要部分。大纲版是按“数列→数列的极限→函数的极限→函数的连续→导数→导数的应用→不定积分→定积分”这样的顺序，把微积分作为大学微积分内容的一种缩编和简单下放，先讲一般极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，这就不可避免地会使形式化的极限概念成为学生学习不可逾越的障碍，教师教得费劲，学生学得乏味，更重要的是严重影响了对导数思想和本质的认识及理解。课程中缺乏微积分的背景材料、应用问题，以及及现实社会联系的实例，导致了学生学得盲目、学得枯燥乏味，还加重了负担，教师和学生都觉得不受用；到了大学，大学教师还抱怨微积分学习炒了“夹生饭”。人教A版不是在学习一般极限的基础上，把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是采用“平均速度→瞬时速度→导数概念→导数的计算→导数的应用→定积分”的顺序，及物理背景联系起来，再用曲线的切线印证。直接通过实际背景和具体应用实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，认识和理解导数概念，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。 3.1.3 两个版本教材中导数的编写体例 3.3 两个版本教材中导数的编写体例大纲版人教A版对比版面及插图章前篇插了“食品店”实物图章前篇中插了高台跳水图，正文中插入了原油精炼装置、汽车在笔直的公路上行驶、美元、海潮、计算机、牛顿及莱布尼兹像、热红茶等实物图，并且对注释类内容添加了有趣的图案，另外还插入了很多函数的图象。插图的运用有效地增加了教科书的可视性，及现实生活的密切相关性，也让学生觉得更有趣味性。框架结构章头图和引言正文例题练习习题阅读材料小结及复习复习参考题A、B组章头图和引言正文例题练习习题探究及发现/信息技术应用实习作业小结复习参考题A、B组在人教A版的正文部分增加了“思考”、“探究”和“观察”部分，并用不同图案加以区分；探究及发现是用以引导学生对一些课堂上没讲解，而又希望学生了解的内容加以了解；信息技术应用是介绍用计算机解决本章节课题内容的方法及过程；实习作业用以巩固所学内容，培养学生的应用意识以及动手能力，并将学习由课内扩展到了课外。内容编写顺序数列→数列的极限→函数的极限→函数的连续→导数→导数的应用→不定积分→定积分平均速度→瞬时速度→导数概念→导数的计算→导数的应用→定积分大纲版把微积分作为大学微积分内容的一种缩编和简单下放及信息技术整合极少使用计算机，仅仅在研究性课题——定积分在经济生活中的应用中两次提出使用计算器计算两个数值较大的问题。不仅提出运用计算机运算，还提出运用信息技术收集数据、描点、画图、求解，并且还给出了具体的操作顺序和方法。计算机可以直观、动态地演示，有图形带来的直觉，增进学生对数学的理解，激发他们的创造力。加强信息技术及数学课程的整合已经成为国际数学课程改革、发展的趋势。 3.1.4 两个版本教材中导数内容处理的变化为了更好地体现课程改革“进一步提高未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展及社会的需要”的总目标，新课程对微积分的处理有了很大的变化。在人教A版中，突出导数概念的本质，强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中，是一种强有力的工具，并通过及初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性，导数作为一种通法的意义和作用。及大纲版相比较，新课标淡化计算问题，强调对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，加强对导数概念的认识和理解，同时在用导数的几何意义去解决问题的过程中（如：导数的正及负为什么体现了函数的增及减的变化，导数绝对值的大小为什么体现了函数增、减的快慢，等等），使学生学会数学思考的一种方式——几何直观。 4 新课改下高中数学导数教学现状的实验研究 4.1 实验的目的及假设 4.1.1 实验目的通过实验检验几何画板等多媒体软件对新课改下的高中数学导数教学的效果，拟在改变学生被动单纯接受式学习方式，使学生从被动的“让我学”转变为“我要学”。 4.1.2 实验假设（1）几何画板等多媒体软件的应用能激发学生学习数学的兴趣、提高自主学习能力和合作探究能力。（2）几何画板等多媒体软件的应用能提高学生的数学学科成绩。（3）几何画板等多媒体软件的应用存在局限性。 4.2 研究样本的选取本次实验以笔者任教的内蒙古赤峰二中2013级理科9个重点班随机抽取的高二8班和15班学生为主要研究对象，其中8班作为实验班，有49名学生，15班作为对照班，有47名学生。学生平均年龄为17岁，每个班级男女生人数比例均衡，学生的数学学习基础、学习习惯基本相近，实验前不像学生透露任何信息，让学生在自然状态下成为实验对象，因此这两个实验对象的选择能够很大程度上确保前侧及后侧对比研究的信度。 4.3 实验的设计及过程笔者自2013年9月至今始终担任这两个班级的数学教学，对学生的数学学习情况、学习状态等方面都有全面的了解。此次新课改下高中数学导数教学现状的实验研究采取班级对比试验的设计方案，自变量是几何画板等多媒体软件和传统的教学模式，因变量是两个班级的数学学习成绩、自主学习能力及合作探究情况，控制变量是教师、教材、配备的练习、课时和测试题。选择人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2中的《第一章导数及其应用》作为教学内容。实验班在课堂教学中指导学生通过几何画板软件（教案中的【方案二】）进行探究式学习，对照班则采用传统教学法（教案中的【方案一】），经过一个月的实验后，用相同的测试题检测对比两个班学生的数学成绩，看有无显著变化，同时对实验班学生进行数学学习兴趣、自主学习能力和合作探究等情况进行问卷调查，将几何画板等多媒体软件及传统教学模式对比看有什么不同，并对几何画板等多媒体软件应用于教学的教学效果对学校师生进行访谈。 4.3.2 研究方法（1）观察法：通过观察在课堂上学生学习的表现（如主动参及教学的情况、上课时注意力是否集中、有无睡觉现象等）获得有关实验的资料。（2）对比实验法：通过对实验班及对照班在实验前后学生的学习成绩及学生对本学科的兴趣等进行对比，获得实验效果。（3）访谈法：通过访谈每班任课教师及学生，掌握实验前后学生的学习兴趣、探究式学习的情况，了解实验的效果。 4.3.3 研究过程（1）实验前测实验开始前以高二年级上学期第一次月考成绩实验班（8）及对照班（15）两班学生数学成绩作为实验的前测成绩。（2）实验后测实验结束后将实验班（8）及对照班（15）学生的选修2-2《第一章导数及其应用》测试（见附录）的考试分数作为实验的后测成绩；并对试验班学生设计问卷调查（见附录）其数学学习情况以及对学校的教师进行了访谈调查（见附录），了解教师在几何画板等多媒体软件应用于课堂教学后因变量方面的变化，及应用过程中存在的问题。（3）统计分析双总体Ｚ检验是检验两个样本平均数所来自的两个总体的平均数差异是否显著。其计算统计量的公式为：，其中：分别为两个样本的平均数；分别为两个样本的标准差；分别为两个样本的容量。用双总体Ｚ检验可以考察实验班及对照班对于导数的两种教学方法的教学效果是否存在差异。（本文采用的是统计功能强大、操作简便的Excel统计软件） 4.4 新课改下高中数学导数教学现状的实验案例 4.4.1 实验案例一变化率问题（1）教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率（2）教学重点平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；（3）教学难点平均变化率的概念．（4）教学过程一．创设情景导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．新课讲授（一）问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球。回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢。从数学角度,如何描述这种现象呢? 【方案1】气球的体积V(单位:L)及半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么 h t o 分析: ，（1）当V从0增加到1时,气球

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