高中数学导数典型例题精讲详细版.docx

导数经典例题精讲
导数知识点
导数是一种特殊极限
几个常用极限：〔1〕，〔〕；〔2〕，.
两个重要极限 ：〔1〕；〔2〕(e=…).
函数极限四那么运算法那么：假设，，那么
(1)；(2);(3).
数列极限四那么运算法那么：假设，那么(1)；(2)(3)(4)( c是常数)
在处导数〔或变化率或微商〕
.
.瞬时速度：.
瞬时加速度：.
在导数：.
函数在点处导数几何意义
函数在点处导数是曲线在处切线斜率，相应切线方程是.
几种常见函数导数
(1) 〔C为常数〕.(2) .(3) .
(4) ；. (5) ; .
导数运算法那么
〔1〕.〔2〕.〔3〕.
复合函数求导法那么
设函数在点处有导数，函数在点处对应点U处有导数，那么复合函数在点处有导数，且，或写作.

【例题解析】
考点1 导数概念
对概念要求：了解导数概念实际背景，掌握导数在一点处定义和导数几何意义，理解导函数概念.
例1． 是导函数，那么值是 ．
[考察目] 此题主要考察函数导数和计算等根底知识和能力.
[解答过程]
故填3.
例2.设函数,集合M=,P=,假设MP,那么实数a取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
[考察目]此题主要考察函数导数和集合等根底知识应用能力.
[解答过程]由

综上可得MP时,
考点2 曲线切线
〔1〕关于曲线在某一点切线
求曲线y=f(x)在某一点P〔x,y〕切线，即求出函数y=f(x)在P点导数就是曲线在该点切线斜率.
〔2〕关于两曲线公切线
假设一直线同时与两曲线相切，那么称该直线为两曲线公切线.
典型例题
例3.函数在区间，内各有一个极值点．
〔I〕求最大值；
〔II〕当时，设函数在点处切线为，假设在点处穿过函数图象〔即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从一侧进入另一侧〕，求函数表达式．
思路启迪：用求导来求得切线斜率.
解答过程：〔I〕因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，
设两实根为〔〕，那么，且．于是
，，且当，即，时等号成立．故最大值是16．
〔II〕解法一：由知在点处切线方程是
，即，
因为切线在点处空过图象，
所以在两边附近函数值异号，那么
不是极值点．
而，且
．
假设，那么和都是极值点．
所以，即，又由，得，故．
解法二：同解法一得
．
因为切线在点处穿过图象，所以在两边附近函数值异号，于是存在〔〕．
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
设，那么
当时，，当时，；
或当时，，当时，．
由知是一个极值点，那么，
所以，又由，得，故．
一条切线与直线垂直，那么方程为〔 〕
A． B．
C． D．
[考察目]此题主要考察函数导数和直线方程等根底知识应用能力.
[解答过程]与直线垂直直线为，即在某一点导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点切线为.
应选A.
例5．过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+=0相切直线方程为 ( )
A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x
[考察目]此题主要考察函数导数和圆方程、直线方程等根底知识应用能力.
[解答过程]解法1：设切线方程为
又

应选A.
解法2:由解法1知切点坐标为由

应选A.
例6.两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线方程.
思路启迪：先对求导数.
解答过程：函数导数为，曲线在点P()处切线方程为，即 　 ①
曲线在点Q切线方程是即
　 ②
假设直线是过点P点和Q点公切线，那么①式和②式都是方程，故得
，消去得方程，
假设△=，即时，解得，此时点P、Q重合.
∴当时，和有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为 .
考点3 导数应用
中学阶段所涉及初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质重要而有力工具，特别是对于函数单调性，以“导数〞为工具，能对其进展全面分析，为我们解决求函数极值、最值提供了一种简明易行方法，进而与不等式证明，讨论方程解情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1.. 求函数解析式; 2. 求函数值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数极值〔最值〕;5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7．函数定义域为开区间，导函数在内图象如下图，那么函数在开区间内有极小值点〔　〕

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个
[考察目]此题主要考察函数导数和函数图象性质等根底知识应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间内图象上有一个极小值点.
应选A.
例8 .设函数在及时取得极值．
〔Ⅰ〕求a、b值；
〔Ⅱ〕假设对于任意，都有成立，求c取值范围．
思路启迪：利用函数在及时取得极值构造方程组求a、b值．
解答过程：〔Ⅰ〕，
因为函数在及取得极值，那么有，．
即
解得，．
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，，
．
当时，；
当时，；
当时，．
所以，当时，取得极大值，又，．
那么当时，最大值为．
因为对于任意，有恒成立，
所以　，
解得　或，
因此取值范围为．
例9.函数值域是_____________.
思路启迪：求函数值域，是中学数学中难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数单调性求出最大、最小值。此例形式构造较为复杂，采用导数法求解较为容易。
解答过程：由得，，即函数定义域为.
，
又，
当时，，
函数在上是增函数，而，值域是.
例10．函数，其中为参数，且．
〔1〕当时，判断函数是否有极值；
〔2〕要使函数极小值大于零，求参数取值范围；
〔3〕假设对〔2〕中所求取值范围内任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数取值范围．
[考察目]本小题主要考察运用导数研究三角函数和函数单调性及极值、解不等式等根底知识，考察综合分析和解决问题能力，以及分类讨论数学思想方法.
[解答过程]〔Ⅰ〕当时，，那么在内是增函数，故无极值.
〔Ⅱ〕，令，得.
由〔Ⅰ〕，只需分下面两种情况讨论.
①当时，随x变化符号及变化情况如下表：
x

0

+
0
-
0
+

↗
极大值

↘
极小值
↗
因此，函数在处取得极小值，且.
要使，必有，可得.
由于，故.
错误！未找到引用源。当时，随x变化，符号及变化情况如下表：

+
0
-
0
+

极大值

极小值

因此，函数处取得极小值，且
假设，那么.矛盾.所以当时，极小值不会大于零.
综上，要使函数在内极小值大于零，参数取值范围为.
〔错误！未找到引用源。〕解：由〔错误！未找到引用源。〕知，函数在区间与内都是增函数。
由题设，函数内是增函数，那么a须满足不等式组
或
由〔错误！未找到引用源。〕，参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，即.
综上，解得或.
所以取值范围是.
例11．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)单调区间.
[考察目]此题考察了函数导数求法,函数极值判定,考察了应用数形结合数学思想分析问题解决问题能力
[解答过程]由得函数定义域为，且
〔1〕当时，函数在上单调递减，
〔2〕当时，由解得
、随变化情况如下表

—
0
+

极小值

从上表可知
当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减.
当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.
例12．函数在点处取得极大值，其导函数图象经过点，，如下图.求：
〔Ⅰ〕值；
〔Ⅱ〕值.
[考察目]本小题考察了函数导数,函数极值判定,闭区间上二次函数最值, 函数与方程转化等根底知识综合应用,考察了应用数形结合数学思想分析问题解决问题能力
[解答过程]解法一：〔Ⅰ〕由图像可知，在上，在上，在上,
故在上递增，在上递减，
因此在处取得极大值，所以
〔Ⅱ〕
由
得
解得
解法二：〔Ⅰ〕同解法一
〔Ⅱ〕设
又
所以

由即得
所以
例13．设是函数一个极值点.
〔Ⅰ〕求与关系式〔用表示〕，并求单调区间；
〔Ⅱ〕设，.假设存在使得成立，求取值范围.
[考察目]本小题主要考察函数、不等式和导数应用等知识，考察综合运用数学知识解决问题能力.
[解答过程]〔Ⅰ〕f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
那么 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点，
所以x+a+1≠0，那么a≠－4.
当a<－4时，x2>3＝x1，那么
在区间〔－∞，3〕上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间〔3，―a―1〕上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间〔―a―1，＋∞〕上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
当a>－4时，x2<3＝x1，那么
在区间〔－∞，―a―1〕上，f `(x)<0， f (x)为减函数；
在区间〔―a―1，3〕上，f `(x)>0，f (x)为增函数；
在区间〔3，＋∞〕上，f `(x)<0，f (x)为减函数.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当a>0时，f (x)在区间〔0，3〕上单调递增，在区间〔3，4〕上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－〔2a＋3〕e3<0，f (4)＝〔2a＋13〕e－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在区间[0，4]上值域是[－〔2a＋3〕e3，a＋6].
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上值域是[a2＋，〔a2＋〕e4]，
由于〔a2＋〕－〔a＋6〕＝a2－a＋＝〔〕2≥0，所以只须仅须
〔a2＋〕－〔a＋6〕<1且a>0，解得0<a<.
故a取值范围是〔0，〕.
例14 函数
在处取得极大值，在处取得极小值，且．
〔1〕证明；
〔2〕假设z=a+2b,求z取值范围。
[解答过程]求函数导数．
〔Ⅰ〕由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是两个根．
所以
当时，为增函数，，由，得．
〔Ⅱ〕在题设下，等价于　即．
化简得．
此不等式组表示区域为平面上三条直线：．
所围成内部，其三个顶点分别为：．

b
a
2
1
2
4
O

在这三点值依次为．
所以取值范围为．

小结：此题新颖之处在把函数导数与线性
规划有机结合．
考点4 导数实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15.用长为18 cm钢条围成一个长方体形状框架，要求长方体长与宽之比为2：1，问该长方体长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
[考察目]本小题主要考察函数、导数及其应用等根本知识，考察运用数学知识分析和解决实际问题能力.
[解答过程]设长方体宽为x〔m〕，那么长为2x(m)，高为
.
故长方体体积为

从而
令V′〔x〕＝0，解得x=0〔舍去〕或x=1，因此x=1.
当0＜x＜1时，V′〔x〕＞0；当1＜x＜时，V′〔x〕＜0，
故在x=1处V〔x〕取得极大值，并且这个极大值就是V〔x〕最大值。
从而最大体积V＝V′〔x〕＝9×12-6×13〔m3〕，此时长方体长为2 m，高为1.5 m.
答：当长方体长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
例16．统计说明，某种型号汽车在匀速行驶中每小时耗
油量〔升〕关于行驶速度〔千米/小时〕函数解析式可以表示为：
甲、乙两地相距100千米.
〔I〕当汽车以40千米/小时速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
〔II〕当汽车以多大速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
[考察目]本小题主要考察函数、导数及其应用等根本知识，考察运用数学知识分析和解决实际问题能力.
[解答过程]〔I〕当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗没〔升〕.
答：当汽车以40千米/小时速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油升。
〔II〕当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得

令得
当时，是减函数；当时，是增函数.
当时，取到极小值
因为在上只有一个极值，所以它是最小值.
答：当汽车以80千米/小时速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为升.
【专题训练】
一、选择题
1. y=esinxcos(sinx)，那么y′(0)等于( )

y=相切方程是( )
A.x+y=0或+y=0 B.x－y=0或+y=0
C.x+y=0或－y=0 D.x－y=0或－y=0
f(x)可导，且f′(0)=0,又=－1,那么f(0)( )
f(xf(x)极值
f(x
fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，那么fn(x)在［0,1］上最大值为( )
A.0 B.1 C. D.
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，那么a=( )
A、 B、 C、 D、
7.过抛物线y=x2上点M〔〕切线倾斜角是( )
A、300 B、450 C、600 D、900
8.函数f(x)=x3-6bx+3b在〔0，1〕内有极小值，那么实数b取值范围是( )
A、〔0，1〕 B、〔-∞，1〕 C、〔0，+∞〕 D、〔0，〕
9.函数y=x3-3x+3在[]上最小值是( )
A、 B、1 C、 D、5
10、假设f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0为函数极值，那么( )
A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值
C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值
11、函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，那么该函数一个递增区间是( )
A、〔2，3〕 B、〔3，+∞〕 C、〔2，+∞〕 D、〔-∞，3〕
12、方程6x5-15x4+10x3+1=0实数解集合中( )
A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素
二、填空题
f′(x0)=2, =_________.
f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),那么f′(0)=_________.
f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)单调区间_________.
R圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它面积最大.
三、解答题
C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l方程及切点坐标.
18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内最大值.
19.证明双曲线xy=a2上任意一点切线与两坐标轴组成三角形面积等于常数.

(1)y=(x2－2x+3)e2x;
(2)y=.
21.有一个长度为5 m梯子贴靠在笔直墙上，假设其下端沿地板以3 m/s速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑速度.
Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,(x≠0,n∈N*).
f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a取值范围，并求其单调区间.
x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x两个极值点.
(1)试确定常数a和b值；
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)极大值还是极小值，并说明理由.
a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数底，求证：ab＞ba.
x方程2x2－ax－2=0两根为α、β(α＜β),函数f(x)=.
(1)求f(α)·f(β)值；
(2)证明f(x)是［α，β］上增函数；
(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上最大值与最小值之差最小？

【参考答案】
一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1.
答案：B
2.解析：设切点为(x0,y0),那么切线斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故
y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)=,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,),从而得y′(A)= =－1及y′(B)= ,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－.
答案：A
3.解析：由=－1,故存在含有0区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时＜0,于是当x∈(a,0)时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.
答案：B
4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1.
答案：D
5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C
二、13.解析：根据导数定义：f′(x0)=(这时)

答案：－1
14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),那么f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),
f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！
答案：n!
15.解析：函数定义域是x＞或x＜－2,f′(x)=.(3x2+5x－2)′=,
①假设a＞1,那么当x＞时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(,+∞)上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.
②假设0＜a＜1,那么当x＞时，f′(x)＜0,∴f(x)在(,+∞)上是减函数，当x＜－2时，
f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.
答案：(－∞,－2)
16.解析：设圆内接等腰三角形底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得
x2=h(2R－h),于是内接三角形面积为
S=x·h=
从而
.
令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在情况，所在区间(0,2R)上列表如下：
h
(0, R)
R
(,2R)
S′
+
0
－
S
增函数
最大值
减函数
由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大.
答案：R
三、17. 解：由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,
∴=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2
又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=.
由x≠0,知x0=,
∴y0=()3－3()2+2·=－.∴k==－.
∴l方程y=－x 切点(，－).
18. ,
令f’(x)=0得，x=0，x=1，x= ,
在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0， .
∴ .
19.设双曲线上任一点P〔x0，y0〕,
,
∴ 切线方程 ,
令y=0，那么x=2x0
令x=0，那么 .
∴ .
20.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得
lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,

(2)两端取对数，得
ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),
两边解x求导，得

21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,那么s=5－,当下端移开1.4 m时，t0=,
又s′=－ (25－9t2)·(－9·2t)=9t,
所以s′(t0)=9×=0.875(m/s).
22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1=,两边同乘以x,得
x+2x2+3x2+…+nxn=两边对x求导，得
Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
=.
23.解：f′(x)=3ax2+1.
假设a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾.
假设a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.
假设a＜0,∵f′(x)=3a(x+)·(x－),此时f(x)恰有三个单调区间.
∴a＜0且单调减区间为(－∞,－)和(,+∞)，
单调增区间为(－, ).
24.解：f′(x)=+2bx+1,
(1) 由极值点必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0,
解方程组可得a=－,b=－,∴f(x)=－lnx－x2+x,
(2)f′(x)=－x-1－x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值－ln2.
25.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),那么
f′(b)=lna－.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.
证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,设f(x)=(x＞e)，那么f′(x)=＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.
26.解：(1)f(α)=,f(β)= ,f(α)=f(β)=4,
(2)设φ(x)=2x2－ax－2,那么当α＜x＜β时，φ(x)＜0,

.
∴函数f(x)在(α，β)上是增函数.
(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,
∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.